Es sei

${\displaystyle {}x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\,}$

und

${\displaystyle {}y={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,,}$

die die Gleichungen ${\displaystyle {}x^{2}+x+1=0}$ bzw. ${\displaystyle {}y^{2}-y-1=0}$ erfüllen. Es sei ${\displaystyle {}T=\mathbb {Z} [x,y]\subseteq S}$. Wegen

${\displaystyle {}z={\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}=2xy-x-y+1\,}$

ist ${\displaystyle {}R\subseteq T}$ und in ${\displaystyle {}\Omega _{T{|}R}}$ gilt

${\displaystyle {}0=dz=d(2xy-x-y+1)=2xdy+2ydx-dx-dy=(2y-1)dx+(2x-1)dy\,.}$

Wegen Aufgabe ist ${\displaystyle {}3dx=0}$ und ${\displaystyle {}5dy=0}$ in den entsprechenden quadratischen Erweiterungen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und damit erst recht in ${\displaystyle {}\Omega _{T{|}R}}$. Damit gilt auch ${\displaystyle {}(10y-5)dx=0}$ und ${\displaystyle {}(6x-3)dy=0}$. Wir haben ferner ${\displaystyle {}(2x+1)dx=0}$ und ${\displaystyle {}(2y-1)dy=0}$. Der Annullator von ${\displaystyle {}dx}$ enthält also ${\displaystyle {}3,2x+1,10y-5}$. Im Restklassenring zu diesem Annullator ist dann ${\displaystyle {}x=1}$ und ${\displaystyle {}y=2}$, woraus mit ${\displaystyle {}y^{2}-y-1=0}$ folgt, dass der Restklassenring der Nullring und der Annullator der ganze Ring ist. Also ist ${\displaystyle {}dx=0}$. Der Annullator zu ${\displaystyle {}dy}$ enthält ${\displaystyle {}5,2x-1,2y-1}$. Damit ist im Restklassenring zu diesem Annullator

${\displaystyle {}x=y=3\,}$

und aus

${\displaystyle {}x^{2}+x+1=13=0\,}$

folgt letztlich wieder ${\displaystyle {}dy=0}$.

${\displaystyle {}T}$

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle {}T}$