Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle F\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(m,n)\longmapsto F(m,n),}$

die durch

${\displaystyle F(m,n):={\begin{cases}GN(\alpha (n)),\,{\text{ falls }}m{\text{ die }}GN{\text{ eines }}\alpha \in L_{1}^{\rm {Ar}}{\text{ ist}}\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,}$

festgelegt ist. Bei der Berechnung von ${\displaystyle {}F}$ wird also zuerst geschaut, ob das erste Argument, also ${\displaystyle {}m}$, die Gödelnummer eines arithmetischen Ausdrucks mit genau einer freien Variablen ist. Falls nicht, so ist ${\displaystyle {}F(m,n)=0}$, unabhängig von ${\displaystyle {}n}$. Falls ja, so ist also ${\displaystyle {}m=GN(\alpha )}$ mit ${\displaystyle {}\alpha \in L_{1}^{\rm {Ar}}}$. In diesem Ausdruck wird dann die einzige freie Variable durch das zweite Argument der Abbildung, also ${\displaystyle {}n}$, ersetzt, wobei man einen Satz ${\displaystyle {}\alpha (n)}$ erhält. Dessen Gödelnummer ist nach Definition der Wert der Abbildung ${\displaystyle {}F(m,n)}$. In diesem Fall ist also ${\displaystyle {}F(m,n)=GN(\alpha (n))}$. Diese Erläuterungen zeigen zugleich, dass ${\displaystyle {}F}$ berechenbar ist.
Da ${\displaystyle {}\Gamma }$ nach Voraussetzung Repräsentierungen erlaubt, gibt es einen Ausdruck ${\displaystyle {}\varphi (x,y,z)}$ mit drei freien Variablen, der diese Abbildung repräsentiert. D.h. es gilt für jede Belegung der Variablen mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}m,n,k}$ die Beziehungen (wir können annehmen, dass ${\displaystyle {}\Gamma }$ widerspruchsfrei ist, da andernfalls das Resultat trivial ist)

${\displaystyle F(m,n)=k{\text{ genau dann, wenn }}\Gamma \vdash \varphi (m,n,k),}$

${\displaystyle F(m,n)\not =k{\text{ genau dann, wenn }}\Gamma \vdash \neg \varphi (m,n,k)}$

und (für jede Belegung ${\displaystyle {}m,n}$ für ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$)

${\displaystyle \Gamma \vdash \exists !z\varphi (m,n,z).}$

Den Fixpunkt zu einem vorgegebenen ${\displaystyle {}\alpha \in L_{1}^{\rm {Ar}}}$ erhalten wir nun durch eine trickreiche Anwendung von ${\displaystyle {}\varphi }$. Wir setzen

${\displaystyle {}s:=\forall z{\left(\varphi (x,x,z)\rightarrow \alpha (z)\right)}\,.}$

Der Ausdruck ${\displaystyle {}s}$ besitzt die Gödelnummer ${\displaystyle {}GN(s)}$. Wir behaupten nun, dass der Satz

${\displaystyle {}q:=s{\frac {GN(s)}{x}}=\forall z(\varphi (GN(s),GN(s),z)\rightarrow \alpha (z))\,}$

die zu beweisende Ableitungsbeziehung ${\displaystyle {}\Gamma \vdash q\leftrightarrow \alpha (GN(q))}$ erfüllt.
Der Ausdruck ${\displaystyle {}s}$ besitzt die einzige freie Variable ${\displaystyle {}x}$, daher gilt

${\displaystyle {}F(GN(s),GN(s))=GN{\left(s{\frac {GN(s)}{x}}\right)}=GN(q)\,.}$

Aufgrund der Repräsentierungseigenschaft ist daher

${\displaystyle \Gamma \vdash \varphi (GN(s),GN(s),GN(q)).}$

Aus der Allaussage ${\displaystyle {}q}$ erhält man durch Spezialisierung (man ersetzt die Variable ${\displaystyle {}z}$ durch den Term ${\displaystyle GN(q)}$)

${\displaystyle \vdash q\rightarrow (\varphi (GN(s),GN(s),GN(q))\rightarrow \alpha (GN(q))).}$

Da das Antezedens der rechten Implikation aus ${\displaystyle {}\Gamma }$ ableitbar ist, folgt

${\displaystyle \Gamma \vdash q\rightarrow \alpha (GN(q)).}$

Die aufgrund der Repräsentierbarkeit oben angeführte eindeutige Existenzaussage führt zu

${\displaystyle \Gamma \vdash \forall z{\left(\varphi (GN(s),GN(s),z)\rightarrow (z=GN(q))\right)}.}$

Durch Substitution ergibt sich

${\displaystyle \vdash (z=GN(q))\rightarrow (\alpha (GN(q))\rightarrow \alpha (z))}$

und somit nach einer prädikatenlogischen Umformulierung

${\displaystyle \Gamma \vdash \forall z{\left(\varphi (GN(s),GN(s),z)\wedge \alpha (GN(q))\rightarrow \alpha (z)\right)}.}$

Da hierbei ${\displaystyle {}\alpha (GN(q))}$ keine freie Variablen besitzt, ist auch

${\displaystyle \Gamma \vdash \alpha (GN(q))\rightarrow {\left(\forall z(\varphi (GN(s),GN(s),z)\rightarrow \alpha (z))\right)},}$

und das Sukzedens ist gerade ${\displaystyle {}q}$, so dass auch die Rückrichtung ableitbar ist.