Es sei ${\displaystyle {}\Gamma }$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken. Eine Funktion

${\displaystyle F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}}$

heißt repräsentierbar in ${\displaystyle {}\Gamma }$, wenn es einen ${\displaystyle {}L^{\rm {Ar}}}$-Ausdruck ${\displaystyle {}\psi }$ in ${\displaystyle {}r+s}$ freien Variablen derart gibt, dass für alle ${\displaystyle {}(r+s)}$-Tupel ${\displaystyle {}(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}}$ die folgenden Eigenschaften

1. Wenn ${\displaystyle {}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})}$, so ist ${\displaystyle {}\Gamma \vdash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})}$,
2. Wenn ${\displaystyle {}F(n_{1},\ldots ,n_{r})\neq (n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})}$, so ist ${\displaystyle {}\Gamma \vdash \neg \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})}$,
3. ${\displaystyle {}\Gamma \vdash \exists !x_{r+1}\ldots \exists !x_{r+s}\psi (n_{1},\ldots ,n_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s})}$,

gelten.