${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$

${\displaystyle {}\sigma }$

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.}$

${\displaystyle M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),}$

und

${\displaystyle N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),}$

sind fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt

${\displaystyle {}\int _{M\times N}fd(\mu \otimes \nu )=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)=\int _{N}\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)\,d\nu (y)\,}$

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),}$

eine stetige Funktion und sei ${\displaystyle {}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ der Rotationskörper zu ${\displaystyle {}f}$ um die ${\displaystyle {}x}$-Achse. Dann besitzt ${\displaystyle {}K}$ das Volumen

${\displaystyle {}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.}$

${\displaystyle \psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)}$

${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {}\psi }$