Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T6/Aufgabe/Lösung

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Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen ist genau dann zusammenhängend, wenn ${}T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.
Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in \mathbb {C} [X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist ${}f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

${}L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$
Seien ${}V,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorräume, ${}G\subseteq V$ und ${}D\subseteq W$ offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in ${}P\in G$ und ${}\psi$ in ${}\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential
${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

Zur gelösten Aufgabe

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