Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
Es gebe eine konvergente Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ von reellen Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$ . Dann ist die Reihe
$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
absolut konvergent.
Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei
$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert. Dann ist ${}f$ stetig.
Die Funktion ${}f$ ist in ${}a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion
$r\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

gibt mit ${}r$ stetig in ${}a$ und ${}r(a)=0$ und mit

$f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a).$

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