Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

Sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$ .
Die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ , die gegen ${}a$ konvergiert, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(a)$ konvergiert.
Für ${}z,w\in \mathbb {C}$ gilt
$\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w.$
Satzantwort Für einen beliebigen Punkt ${}a\in I$ ist die Integralfunktion
$F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

differenzierbar
und es gilt
$F'(x)=f(x)$
für alle ${}x\in I$ .

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