Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

Sei ${}C$ eine ebene affin-algebraische Kurve und sei ${}L$ eine Gerade in ${}K^{2}$ . Dann ist der Durchschnitt ${}C\cap L$ die ganze Gerade, oder er besteht nur aus endlich vielen Punkten.
Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ . Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .
Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Dann ist
${}\dim _{K}{\left(K[X,Y]/(F,G)\right)}=\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(F,G)\,.$

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