Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in \mathbb {C} [X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$ -Algebra mit ${}K$ -Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ . Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
$\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ . Dann stiftet die Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$
eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$ , die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.
Seien ${}R$ ${{}} R$ und ${}S$ ${{}} S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.
1. ${}x$ ist ganz über ${}R$ .
2. Es gibt eine ${}R$ -Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$ -Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen ${}R$ -Untermodul ${}M$ von ${}S$ , der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$ .

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