Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}H}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Hopf-Algebra und ${\displaystyle {}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei

${\displaystyle N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R}$

eine Kooperation von ${\displaystyle {}H}$ auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ mit dem Spektrum ${\displaystyle {}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$. Dann nennt man den zu ${\displaystyle {}N}$ gehörenden ${\displaystyle {}K}$-Morphismus

${\displaystyle N^{*}\colon G\times _{K}X=\operatorname {Spek} {\left(H\otimes _{K}R\right)}\longrightarrow X}$

eine (${\displaystyle {}K}$-algebraische) Operation des affinen Gruppenschemas ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}X}$.