Wir betrachten den Differenzenquotient

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}&={\frac {(a+h)^{3}+2(a+h)^{2}-5(a+h)+3-(a^{3}+2a^{2}-5a+3)}{h}}\\&={\frac {a^{3}+3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3}+2a^{2}+4ah+2h^{2}-5a-5h+3-a^{3}-2a^{2}+5a-3}{h}}\\&={\frac {3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3}+4ah+2h^{2}-5h}{h}}\\&=3a^{2}+3ah+h^{2}+4a+2h-5\\&=3a^{2}+4a-5+3ah+h^{2}+2h.\end{aligned}}}$

Die Ableitung ist der Limes von diesem Ausdruck für ${\displaystyle {}h}$ gegen ${\displaystyle {}0}$, und dieser ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,(3a^{2}+4a-5+3ah+h^{2}+2h)&=3a^{2}+4a-5+\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,h(3a+h+2)\\&=3a^{2}+4a-5.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}3a^{2}+4a-5}$