${\displaystyle {}{\begin{aligned}((f+g)\circ h)(x)&=(f+g)(h(x))\\&=f(h(x))+g(h(x))\\&=(f\circ h)(x)+(g\circ h)(x)\end{aligned}}}$

für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$, somit ist

${\displaystyle {}(f+g)\circ h=f\circ h+g\circ h\,}$

für beliebige ${\displaystyle {}f,g,h\in \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}}$.

${\displaystyle {}h}$

${\displaystyle {}h(x)=x^{2}\,}$

und es sei

${\displaystyle {}f=g\,}$

die identische Abbildung, also

${\displaystyle {}f(x)=g(x)=x\,.}$

Dann ist einerseits

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(h\circ (f+g))(1)&=h((f+g)(1))\\&=h(f(1)+g(1))\\&=h(1+1)\\&=h(2)\\&=4\end{aligned}}}$

und andererseits

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(h\circ f+h\circ g)(1)&=(h\circ f)(1)+(h\circ g)(1)\\&=h(f(1))+h(g(1))\\&=h(1)+h(1)\\&=1+1\\&=2.\end{aligned}}}$

Somit ist

${\displaystyle {}h\circ (f+g)\neq h\circ f+h\circ g\,.}$