Wegen der Surjektivität von ${\displaystyle {}\varphi }$ gibt es zu jedem ${\displaystyle {}y\in M}$ mindestens ein ${\displaystyle {}x\in L}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (x)=y}$. Wir wählen nun zu jedem ${\displaystyle {}y\in M}$ ein solches zugehöriges ${\displaystyle {}x}$. Es sei ${\displaystyle {}S}$ die Vereinigung all dieser gewählten ${\displaystyle {}x}$. Die auf ${\displaystyle {}S}$ eingeschränkte Abbildung

${\displaystyle \varphi '\colon S\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),}$

ist nach wie vor surjektiv, da ja jedes ${\displaystyle {}y\in M}$ von einem (dem gewählten)

${\displaystyle {}x\in S}$ erreicht wird. Die Abbildung ist injektiv, da es zu jedem ${\displaystyle {}y\in M}$ in ${\displaystyle {}S}$ nur das eine gewählte Urbild gibt. Insgesamt ist also ${\displaystyle {}\varphi '}$ bijektiv.