${\displaystyle {}x,x'\in L}$

${\displaystyle {}G(F(x))=G(F(x'))\,}$

gegeben. Aufgrund der Injektivität von ${\displaystyle {}G}$ folgt

${\displaystyle {}F(x)=F(x')\,}$

und aufgrund der Injektivität von ${\displaystyle {}F}$ folgt

${\displaystyle {}x=x'\,,}$

was die Injektivität von ${\displaystyle {}G\circ F}$ bedeutet.

${\displaystyle {}z\in N}$

${\displaystyle {}G}$

${\displaystyle {}y\in M}$

${\displaystyle {}G(y)=z\,.}$

Aufgrund der Surjektivität von ${\displaystyle {}F}$ gibt es ein ${\displaystyle {}x\in L}$ mit

${\displaystyle {}F(x)=y\,.}$

Insgesamt ist

${\displaystyle {}(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,}$

es gibt also ein Urbild von ${\displaystyle {}z}$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.