a) Es sei ${\displaystyle {}N=\varphi (L)}$ das Bild von ${\displaystyle {}L}$ unter der Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$. Wegen

${\displaystyle {}N=\varphi (L)\subseteq M\,}$

ist ${\displaystyle {}N}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle {}M}$. Die Abbildung, die ein Element ${\displaystyle {}y\in N}$ auf sich selbst aber als Element in ${\displaystyle {}M}$ auffasst, nennen wir ${\displaystyle {}G}$. Diese Abbildung ist injektiv. Die Abbildung

${\displaystyle F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto \varphi (x),}$

ist wohldefiniert, da ${\displaystyle {}\varphi (x)}$ zu ${\displaystyle {}N}$ gehört, und surjektiv, da ${\displaystyle {}N}$ genau aus den Elementen besteht, die im Bild liegen. Dabei ist offenbar

${\displaystyle {}\varphi =G\circ F\,.}$

b) Es sei

${\displaystyle {}P=L\times M\,.}$

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle H\colon L\longrightarrow P=L\times M,\,x\longmapsto (x,\varphi (x)).}$

Diese ist injektiv, da aus

${\displaystyle {}x\neq x'\,}$

folgt, dass

${\displaystyle {}(x,\varphi (x))\neq (x',\varphi (x'))\,}$

ist. Die Abbildung ${\displaystyle {}I}$ sei durch

${\displaystyle I\colon L\times M\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto v,}$

gegeben. Diese ist surjektiv unter der Bedingung, dass ${\displaystyle {}L}$ nicht leer ist. Insgesamt ist

${\displaystyle {}(I\circ H)(x)=I(x,\varphi (x))=\varphi (x)\,}$

und somit

${\displaystyle {}\varphi =I\circ H\,.}$

Falls ${\displaystyle {}L}$ leer ist, so ist ${\displaystyle {}\varphi }$ die sogenannte leere Abbildung und man kann ${\displaystyle {}P=M}$, ${\displaystyle {}H=\varphi }$ und ${\displaystyle {}I=\operatorname {Id} _{M}}$