Sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$ mit den Äquivalenzklassen ${\displaystyle {}[x]}$. Es sei ${\displaystyle {}I}$ die Menge aller Äquivalenzklassen. Zeige folgende Aussagen.

1. Es ist ${\displaystyle {}x\sim y}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}[x]=[y]}$ ist, und dies gilt genau dann, wenn ${\displaystyle {}[x]\cap [y]\neq \emptyset }$.
2. ${\displaystyle {}M=\bigcup _{x\in I}[x]}$ ist eine disjunkte Vereinigung.