Klassifizierender Raum von U(n)

Es gibt eine kanonische Inklusion von komplexen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}$. Deren direkter Limes ist:[1]

${\displaystyle \operatorname {BU} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k}).}$

Da reelle Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {C} ^{k})=\operatorname {U} (n+k)/(\operatorname {U} (n)\times \operatorname {U} (k))}$

überträgt sich die Gruppenstruktur auf ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$.

Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum ${\displaystyle \operatorname {EU} (n)}$ der ${\displaystyle n}$-ten unitären Lie-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ist schwach zusammenziehbar[2] und verfügt über eine Gruppenwirkung von ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$, wobei der Orbitraum ${\displaystyle \operatorname {EU} (n)/\operatorname {U} (n)}$ genau ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$ ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle \operatorname {EU} (n)\rightarrow \operatorname {BU} (n),x\mapsto [x]}$ mit Faser ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$, welches universelles ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$-Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$-Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum ${\displaystyle X}$ lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung ${\displaystyle X\rightarrow \operatorname {BU} (n)}$ erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$-Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion:[3]

${\displaystyle \operatorname {Bund} _{\operatorname {U} (n)}(X):=\left\{\operatorname {U} (n){\text{-Prinzipalbündel über }}X\right\}/\sim _{\mathrm {iso} }\cong [X,\operatorname {BU} (n)].}$

Es ist ${\displaystyle \operatorname {U} (1)\cong S^{1}}$, wobei ${\displaystyle \operatorname {BU} (1)=\mathbb {C} P^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {C} P^{n}}$ der unendliche komplexe projektive Raum ist und ${\displaystyle \operatorname {EU} (1)=S^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }S^{n}}$ die ${\displaystyle \infty }$-Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{n+1}}$ beziehungsweise ${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow S^{n+1}}$. Erstaunlicherweise ist die ${\displaystyle \infty }$-Sphäre ${\displaystyle S^{\infty }}$ wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar, sogar zusammenziehbar,[4] obwohl keine der Sphären ${\displaystyle S^{n}}$ (schwach) zusammenziehbar ist.

Für den Kohomologiering von ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$ gilt:[5][6]

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].}$

Die kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)}$ induzieren kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}$ auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

${\displaystyle \operatorname {U}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n)}

${\displaystyle \operatorname {BU}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n)}

bezeichnet. ${\displaystyle \operatorname {BU} }$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von ${\displaystyle \operatorname {U} }$.

• Klassifizierender Raum
• Klassifizierender Raum von O(n)
• Klassifizierender Raum von SO(n)
• Klassifizierender Raum von SU(n)

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu).
• Stephen Mitchell: Universal principal bundles and classifying spaces. August 2001 (englisch, mit.edu [PDF]).

• classifying space auf nLab (englisch)
• BU(n) auf nLab (englisch)

1. Mitchell 01, Seite 14
2. Krl. 2.13. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch).
3. Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Thrm. 1.16 mit Bemerkung am Anfang von S. 31 (cornell.edu [PDF]).
4. Hatcher 02, Aufgabe 16 auf Seite 19 (ohne Beweis)
5. Hatcher 02, Theorem 4D.4.
6. Chern class. Abgerufen am 18. Februar 2024 (englisch).