Klassifizierender Raum von O(n)

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}$. Deren direkter Limes ist:[1]

${\displaystyle \operatorname {BO} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k}).}$

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {O} (n+k)/(\operatorname {O} (n)\times \operatorname {O} (k))}$

überträgt sich die Gruppenstruktur auf ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}$.

Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum ${\displaystyle \operatorname {EO} (n)}$ der ${\displaystyle n}$-ten orthogonalen Lie-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$ ist schwach zusammenziehbar[2] und verfügt über eine Gruppenwirkung von ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$, wobei der Orbitraum ${\displaystyle \operatorname {EO} (n)/\operatorname {O} (n)}$ genau ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}$ ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle \operatorname {EO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (n),x\mapsto [x]}$ mit Faser ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$, welches universelles ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$-Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$-Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum ${\displaystyle X}$ lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung ${\displaystyle X\rightarrow \operatorname {BO} (n)}$ erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$-Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion:[3][4][5]

${\displaystyle \operatorname {Bund} _{\operatorname {O} (n)}(X):=\left\{\operatorname {O} (n){\text{-Prinzipalbündel über }}X\right\}/\sim _{\mathrm {iso} }\cong [X,\operatorname {BO} (n)].}$

Es ist ${\displaystyle \operatorname {O} (1)=\mathbb {Z} _{2}}$, wobei ${\displaystyle \operatorname {BO} (1)=\mathbb {R} P^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {R} P^{n}}$ der unendliche reelle projektive Raum ist und ${\displaystyle \operatorname {EO} (1)=S^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }S^{n}}$ die ${\displaystyle \infty }$-Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{n+1}}$ beziehungsweise ${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow S^{n+1}}$. Erstaunlicherweise ist die ${\displaystyle \infty }$-Sphäre ${\displaystyle S^{\infty }}$ wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar und sogar zusammenziehbar,[6] obwohl keine der Sphären ${\displaystyle S^{n}}$ (schwach) zusammenziehbar ist.

Für den Kohomologiering von ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}$ gilt:[7][8][9]

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].}$

Die kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)}$ induzieren kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} (n+1)}$ auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

${\displaystyle \operatorname {O}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)}

${\displaystyle \operatorname {BO}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BO} (n)}

bezeichnet. ${\displaystyle \operatorname {BO} }$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von ${\displaystyle \operatorname {O} }$.

• Klassifizierende Räume
• Klassifizierender Raum von U(n)
• Klassifizierender Raum von SO(n)
• Klassifizierender Raum von SU(n)

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Princeton University Press, 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]).
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu).
• Stephen Mitchell: Universal principal bundles and classifying spaces. August 2001 (englisch, mit.edu [PDF]).

• classifying space auf nLab (englisch)
• BO(n) auf nLab (englisch)

1. Mitchell 01, Seite 14
2. Krl. 2.13. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch).
3. Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Thrm. 1.16 (cornell.edu [PDF]).
4. Prop. 2.16. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch).
5. stable unitary group. Abgerufen am 19. Februar 2024 (englisch).
6. Hatcher 02, Aufgabe 16 auf Seite 19 (ohne Beweis)
7. Milnor & Stasheff, Theorem 7.1 auf Seite 83
8. Hatcher 02, Theorem 4D.4.
9. Stiefel-Whitney class. Abgerufen am 18. Februar 2024 (englisch).