Einleitung

Die Schrödingergleichung ensteht dadurch, dass in der Energie-Impuls- Beziehung des Punktteilchens diese beiden Größen zu Ableitungs- Operatoren werden. Nämlich genau die Operatoren, die aus jeder ebenen Welle ${\displaystyle exp(i({\vec {k}}{\vec {x}}-\omega t))}$ als Eigenwerte die de-Broglie-Korrespondenz hervorlocken: ${\displaystyle E=\hbar \omega$ ;\;{\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}} .

Die Quantenmechanik hat aber mehr auf Lager als diese Wellenversion der klassischen Bahngleichung. Erstens hat das Elektron ein magnetisches Moment und eine Quantisierung des Drehimpulses in zwei Stufen. Schrödingerwellen beherrschen nur ungerade Quantisierung von Bahndrehimpulsen. Zweitens taucht bei vielen gleichartigen Teilchen die Zusatzregel auf, dass die gemeinsame Wellenfunktion entweder total symmetrisch (Bosonen) oder total antisymmetrisch (Fermionen) sein muss.

Beide neue Fakten gehören zur relativistischen Physik. Aus der Diracgleichung entspringt zwanglos der Spin und das korrekte magnetische Moment des Elektrons. Die Vielteilchentheorie wurde aufgebohrt zur Quantenfeldtheorie, die die Erzeugung und Vernichtung der Teilchen sowie die Antiteilchen beschreibt. Und eine fundamentale Spin-Statistik- Regel herleitet: Teilchen mit halbzahligem Spin sind Fermionen, solche mit ganzzahligem Spin sind Bosonen.

Der Spin des Elektrons ist ein neuer Freiheitsgrad über die Schrödingergleichung hinaus. Wie gesehen, gehört ein Spektrum der Drehimpuls-Algebra mit 2 Werten zu der kleinstmöglichen Darstellung, nämlich Vektoren in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ mit Operatoren der Form Pauli-Matrix mal ${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}}$. Soweit mit Streuexperimenten belegbar, ist das Elektron punktförmig. Der Spin-Freiheitsgrad hat keine messbare räumliche Ausdehnung. Er wird dadurch modelliert, dass an jedem Punkt x die Wellenfunktion ${\displaystyle \Psi (x)}$ einen Wert im Darstellungsraum ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ hat, an Stelle eines Skalarwertes. Die Werte heißen Spinoren, weil sie wie Vektoren und Tensoren bei linearen Transformationen der Ortskoordinaten ebenfalls richtig umgebogen werden müssen.

Der Raum der (Pauli-)Spinoren hat eine Basis aus 2 Zuständen und verkörpert so die kleinstmöglichen Quantensysteme, oft Qbits genannt. Alle hermiteschen Operatoren auf Spinoren sind reelle Linearkombinationen aus der Einheitsmatrix und den drei Pauli-Matrizen.

Jedem Vektor ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ist mit ${\displaystyle X=x_{1}\sigma _{1}+x_{2}\sigma _{2}+x_{3}\sigma _{3}=({\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }})}$ bijektiv eine spurfrei-hermitesche Matrix zugeordnet. Wenn ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Norm 1 hat, ist ${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}X}$ physikalisch der Operator, der den Spin in Richtung ${\displaystyle {\vec {x}}}$ misst.

Rechnen mit Pauli-Matrizen

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right)}$.

• ${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}^{-1}}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\mathbf {1}$ ;\;\sigma _{1}\sigma _{2}=\,i\,\sigma _{3}} zyklisch
• ${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}}$
• ${\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=2\delta _{ij}\mathbf {1} }$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\mathbf {1} +i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}}$
• ${\displaystyle tr(\sigma _{i})=0;\;det(\sigma _{i})=-1;\;\sigma _{i}^{2}=\mathbf {1} }$
• ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i\mathbf {1} }$

• ${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {1} +i(({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }})}$

• Die Pauli-Matrizen sind gleichzeitig hermitesch und unitär.
• Sie antikommutieren miteinander und haben die Eigenwerte {1,-1}.

• Die Matrizen ${\displaystyle h_{k}=-i\sigma _{k}}$ sind eine Lie-Algebra-Basis

ohne den Faktor i (Mathe-Konvention): ${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=2\sum _{k}\epsilon _{ijk}h_{k}}$.

• Die ${\displaystyle h_{k}}$ haben Quadrate -1, sind antiunitär, antikommutieren.
• Zusammen mit ${\displaystyle \mathbf {1} }$ sind sie eine Basis der Quaternionen-Algebra.

Ist eine Matrix M diagonalisierbar mit einer Ähnlichkeitstransformation, lässt sich so manche Funktion f(x) mit reellem bzw. komplexem Definitions- und Wertebereich zu einer matrixwertigen Matrixfunktion f(M) erweitern. Man wende sie einfach in der Diagonalform auf alle Eigenwerte an. Zum Beispiel Exponential- Funktion und Quadratwurzel haben dann gewohnte Eigenschaften.

Beispiel, Exponential der Matrizen ${\displaystyle h_{k}:=(-i\sigma _{k})}$ mit ${\displaystyle h_{k}^{2}=-\mathbf {1} }$ als Reihenentwicklung berechnet. Es funktioniert wie mit ${\displaystyle e^{it}}$:

${\displaystyle \exp(th_{k})=\sum _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}h_{k}^{n}=\sum _{n=0,2,4...}(-1)^{n/2}{\frac {t^{n}}{n!}}\mathbf {1} +\sum _{n=1,3,5,..}(-1)^{(n-1)/2}{\frac {t^{n}}{n!}}h_{k}=\mathbf {1} \cos t+h_{k}\sin t}$

Die Familien ${\displaystyle t\mapsto \exp(th_{k})}$ sind unitäre Ein-Parameter-Gruppen.

${\displaystyle (1\cos t+h_{k}\sin t)^{\dagger }\;(1\cos t+h_{k}\sin t)=(1\cos t-h_{k}\sin t)(1\cos t+h_{k}\sin t)=}$

${\displaystyle (1\cos ^{2}t+h_{k}\cos t\sin t-h_{k}\sin t\cos t+(h_{k})(-h_{k})\sin ^{2}t)=(\cos ^{2}t+\sin ^{2}t)\mathbf {1} }$

Magnetisches Feld

Spinor- und Vektor-Wellenfunktionen

Die Schrödingerwelle ist ein komplexer Skalar. Ein Objekt kann zusätzlich Eigenschaften haben, die mit räumlicher Orientierung zusammenhängen, doch näherungsweise keine Ausdehnung besitzen. Dann zieht man eine Wellenfunktion heran, deren Werte Spinoren, Vektoren oder Tensoren sind. Die Operatoren / Matrizen auf diesen Wertebereichen bescheren dem Objekt neue Quantenzahlen und neue Terme im Hamilton-Operator, womit sie an Nachbarteilchen und an externe Kraftfelder ankoppeln.

Angenommen, dass das System unter den Drehungen des Koordinatensystems invariant ist. Der Hamilton-Operator, ein Skalar also, sollte nach der Drehung gleich aussehen, wenn diese Symmetrie gilt. Ein Raumpunkt x wird zu ${\displaystyle R(x)}$ verändert. Weil die nicht-skalaren Wellenfunktionen orientierte Werte haben, müssen diese auch verformt werden, also ${\displaystyle \Psi (x)}$ wird gemäß ${\displaystyle \Psi '(R(x))=S(\Psi (x))}$ umgeschrieben. ${\displaystyle S}$ ist eine Transformation, im linearen Fall eine Matrix, die auf dem Wertebereich der Wellen operiert.

Die Paarung von ${\displaystyle R}$ mit ${\displaystyle S}$ soll Gruppeneigenschaften beibehalten. Zu ${\displaystyle R=R_{a}R_{b}}$, zwei Transformationen hintereinander, soll ${\displaystyle S=S_{a}S_{b}}$ gehören.

Gibt es eine Abbildung ${\displaystyle R\mapsto S}$, so ist sie eine Darstellung der Drehgruppe, ein Gruppenhomomorphismus. Es kann auch umgekehrt ein Homomorphismus ${\displaystyle S\mapsto R}$ bestehen; die Drehgruppe ist eine Darstellung einer vielleicht größeren Gruppe, die auf dem Wellenwert-Raum operiert.

Genau dies tritt auf bei Spinoren und allen Darstellungen mit halbzahligem Spin der Drehimpuls-Algebra. Die Gruppe SU(2) auf dem Spinor-Raum, alle Speziellen (Determinante=1) Unitären komplexen 2-mal-2-Matrizen, überlagert die Drehgruppe SO(3) zwei mal. Nach einer Raumdrehung hat ein Spinor eine halbe Runde hinter sich, ist aber proportional zum Startwert mit Vorzeichen -1. Das ist neutral für die Quantenmechanik, denn diese akzeptiert Strahldarstellungen auf dem Hilbertraum für ihre Symmetrien. Warum? Wenn ein Zustandsvektor einen konstanten Faktor vom Betrag 1 bekommt, bleiben alle physikalisch messbaren Dinge gleich. Gegeben eine Observable, also ein hermitescher Operator A, ein Eigenwert a und sein Eigenvektor ${\displaystyle |a\rangle }$. Dann geht die Wellenfunktion ${\displaystyle |\psi \rangle }$ nur als Prognose-Wahrscheinlichkeit ein, in der Form ${\displaystyle \langle \psi |a\rangle \langle a|\psi \rangle =|\langle a|\psi \rangle |^{2}}$, als Betragsquadrat.

Beispiele

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