Pseudoprimzahlen

Die Zeisel-Zahl ist eine nach dem Mathematiker Helmut Zeisel benannte Zahl, die das Produkt wenigstens dreier Primzahlen ist, die einer bestimmten linearen Rekursion genügen. Eine besondere Bedeutung in der Mathematik spielen sie nicht. Aufgrund gewisser Ähnlichkeiten zu den Carmichael-Zahlen, und der Tatsache, dass alle Zeisel-Zahlen auch fermatsche Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis ${\displaystyle a\ }$ sind, sind die Zeisel-Zahlen hier aufgeführt.

Definition

p₀ = 1

p_n = a·p_n-1 + b

Dabei muss jedes p_n mit ${\displaystyle n\geq 1}$ eine Primzahl ergeben, und sowohl a als auch b sind für alle p_n konstant. Die Zeisel-Zahl z ist dann das Produkt ${\displaystyle p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}}$.

p0 = 1
p1 = a·p0 + b = 2·1  + 3 = 5
p2 = a·p1 + b = 2·5  + 3 = 13
p3 = a·p2 + b = 2·13 + 3 = 29

z = p1 · p2 · p3 = 5 · 13 · 29 = 1885

Zusammenhang zwischen den Zeisel-Zahlen und den Carmichael-Zahlen nach J.Chernick

Die Bildungsregel der Carmichael-Zahlen nach J. Chernick lautet (6n+1)*(12n+1)*(18n+1). Diese Bildungsregel ist identisch mit der Bildungsregel für Zeisel-Zahlen mit einem a=1 und b=6n. Demzufolge sind alle Carmichael-Zahlen nach Chernick, die ein Produkt aus drei Primzahlen bilden, auch Zeisel-Zahlen.

Eine Liste von Zeisel-Zahlen

Die Carmichael-Zahlen sind fett geschrieben.

Geschichte

Der Name "Zeisel-Zahl" wurde vermutlich von Kevin Brown eingeführt, der Zahlen ${\displaystyle k}$ suchte, für die der Ausdruck ${\displaystyle 2^{k-1}+k}$ eine Primzahl ergibt. In einem Posting in die Usenet-Newsgroup sci.math vom 24. Februar 1994 lieferte Helmut Zeisel die Zahl 1885 als eine weitere Lösung. Später wurde (durch Kevin Brown?) entdeckt, dass die Primfaktoren von 1885 die oben beschriebenene Eigenschaft haben. Ein Name der Art Brown-Zeisel-Zahlen wäre daher passender.

Verallgemeinerung

Man muß sich, bei der Bildung der Zeisel-Zahl nicht auf ${\displaystyle p_{0}=1}$ beschränken. Auch davon abweichende Werte sind möglich.

p0 = 4
p1 = a·p0 + b = 2·4  + 5 = 13
p2 = a·p1 + b = 2·13 + 5 = 31
p3 = a·p2 + b = 2·31 + 5 = 67

z = p1 · p2 · p3 = 13 · 31 · 67 = 27001

p0 = -1
p1 = a·p0 + b = 8·-1   + 27 =   19
p2 = a·p1 + b = 8·19   + 27 =  179
p3 = a·p2 + b = 28·179 + 27 = 1459

z = p1 · p2 · p3 = 19 · 179 · 1459 = 4962059

Weblinks

• Sloane Sequence A051015
• Zeisel Number from MathWorld (englisch)
• MathPages - Zeisel Numbers (englisch)

_{Quelle: Die Zeisel-Zahlen sind aus dem Artikel Zeisel-Zahl von der deutsprachigen de.wikipedia.org entnommen.}