Die fermatsche Pseudoprimzahl im allgemeinen

Wie Ende des vorherigen Kapitels erwähnt ist, sind fermatsche Pseudoprimzahlen zusammengesetzte Zahlen ${\displaystyle q\ }$, für die gilt, daß ${\displaystyle q\ }$ den Ausdruck ${\displaystyle a^{q}-a}$ teilt, wobei ${\displaystyle a\ }$ größer, oder aber wenigstens gleich, 2 sein muß. Abgesehen von den Dreierpotenzen, also 3; 9; 27; 81; 243; 729; ... , sind alle ungeraden, zusammengesetzten Zahlen, fermatsche Pseudoprimzahlen. Bei den geraden, zusammengesetzen Zahlen sieht das noch ein wenig anders als. Dort gibt es mehr zusammengesetzte Zahlen, die keine Fermatschen Pseudoprimzahlen sind.

Ein paar Daten zu den fermatschen Pseudoprimzahlen

Zu jeder Basis ${\displaystyle a\geq 2}$ gibt es eine kleinste fermatsche Pseudoprimzahl. In der folgenden Tabelle sind die kleinsten Pseudoprimzahlen bis zur Basis 121 aufgeführt:

Wenn man nun alle Pseudoprimzahlen aus der Tabelle, unter der Weglassung der doppelten Pseudoprimzahlen auflistet, bekommt man folgende Folge:

 15,  21,  25,  28,  33,  35,  39,  45,  49,  51,  55,  57,  63,  65,  66,  69,  76,  77,  85,  87,  91,  93,  95,  99,
105, 111, 112, 115, 117, 119, 121, 124, 129, 133, 141, 145, 153, 169, 175, 177, 187, 190, 195, 205, 247, 259, 265, 301,
341, 415, 451, 623 

Das sind 52 Zahlen. Zum Vergleich: Bis 10 existieren 4 Primzahlen, hier sind es 0 Pseudoprimzahlen; bis 100 sind es 25 Primzahlen, hier sind es 24 Pseudoprimzahlen; bis 1000 sind es 168 Primzahlen, hier sind es 52. Allerdings muß man zugestehen, das noch gar nicht alle Pseudoprimzahlen berücksichtigt werden konnten. Wie aber verhält sich die Verteilung der Pseudoprimzahlen nun wirklich? Gibt es innerhab bestimmter Grenzen mehr Pseudoprimzahlen als Primzahlen, oder verhält es sich umgekehrt?

Dabei muß man Unterscheiden. Meint man die fermatschen Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis ${\displaystyle a\ }$, so sind es, in definierten Grenzen, weniger Pseudoprimzahlen als Primzahlen:

Meint man dagegen die Menge aller fermatschen Pseudoprimzahlen, die zu irgendeiner Basis ${\displaystyle a\geq 2}$ pseudoprim ist, dann gibt es, in definierten Grenzen mehr Pseudoprimzahlen als Primzahlen:

  15    21    25    28    33    35    39    49    51    52    55    57    63    65    66    69    70    75
  76    77    85    87    91    93    95    99   105   111   112   115   117   119   121   123   124   125
 129   130   133   135   141   143   145   147   148   153   154   155   159   161   165   169   171   172
 175   176   177   183   185   186   187   189   190   195   196   201   203   205   207   208   209   213
 215   217   219   221   225   231   232   235   237   238   244   245   246   247   249   253   255   259
 261   265   267   268   273   275   276   279   280   285   286   287   289   291   292   295   297   299
 301   303   304   305   309   310   315   316   319   321   322   323   325   327   329   333   335   339
 341   

Wenn man sich jetzt unterschiedliche fermatsche Pseudoprimzahlen anschaut

Die fermatsche Pseudoprimzahl

Eine zusammengesetzte Zahl ${\displaystyle q\ }$ gilt dann als fermatsche Pseudoprimzahl, wenn es mindestens eine natürliche Zahl ${\displaystyle a\ }$ mit ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,q)=1}$ gibt, so dass für ${\displaystyle a\ }$ und ${\displaystyle q\ }$ gilt: ${\displaystyle a^{q-1}\equiv 1\mod q}$.

• Beispiel:

${\displaystyle 15=3\cdot 5}$ ist eine zusammengesetze Zahl

${\displaystyle 4^{15-1}\ }$	${\displaystyle \equiv 1\mod 15}$
${\displaystyle 11^{15-1}\ }$	${\displaystyle \equiv 1\mod 15}$