Mathematrix: Aufgabensammlung/ Binomialverteilung

{\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 der Grund- und
1 und 2 der Maturaaufgaben probieren,
sie sind unterschiedlich!

	lle	Gaben
	uf-

Theorie in Kürze (mit Geogebra)

μ oder E(x)→ Erwartungswert (Durchschnitt, „wie viel ist im Mittel erwartet“, arithmetisches Mittel)
σ→ Standardabweichung

Merkmale:

Zwei mögliche Ergebnisse bei einem Versuch (z.B. schwarz oder nicht schwarz, ein Gegenstand oder eine Person hat eine Eigenschaft oder hat sie nicht)
Wahrscheinlichkeit bei jedem Versuch bleibt konstant

Eingabe in geogebra:

n: Gesamtanzahl der Versuche (Personen, Geräte oder was auch immer)
p: Wahrscheinlichkeit (Prozentsatz) bei einem Versuch (oder Wahrscheinlichkeit von einem Merkmal). Das ist ein Wert zwischen 0 und 1

$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}:$ Wahrscheinlichkeit, dass unter n Wiederholungen (Versuche, Personen usw.) das Merkmal k mal vorkommt

VORSICHT: zwei Fälle unterscheiden:

(„Sonder“fall) Wir haben eine Anzahl A von Gegenständen. Ein Teilanzahl T davon hat eine Eigenschaft (z.B. Schwarz) der Rest (A minus T) nicht. Wir ziehen dann mit Zurücklegen c mal. In diesem Fall ist das c die gesamte Anzahl der Versuche und NICHT das A. Das A wird benutzt um die Wahrscheinlichkeit p bei einmal Ziehen zu berechnen, nämlich T/A (T durch A), z.B. schwarze Kugeln durch gesamte Kugeln.
(„Normal“fall) Wir haben eine Anzahl A von Gegenständen. Diesmal ist kein Teilanzahl von diesen A Gegenständen gegeben, die eine Eigenschaft haben, sondern eine Wahrscheinlichkeit p, dass sie diese Eigenschaft haben. Dann ist hier doch n=A die Gesamtanzahl und p ganz normal das p.

μ und σ liest man oben links ab!

$\mu =n\cdot p$
$\sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)\ }}$

k liest man oben rechts (und weiter darunter), da liest man auch die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass das angegebene Merkmal k von n mal vorkommt:
$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

Wenn es um mindestens bzw. höchstens geht, dann kommt in dieser Formel das Symbol ∑ vor:
$P(min\leq k\leq max)=\sum _{i=min}^{max}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}$

höchstens a: P ( 0 ≤ X ≤ a) =

Null links, a rechts von X!

mindestens a: P ( a ≤ X ≤ n) =

a links, n rechts von X!

mindestens a und höchstens b: P ( a ≤ X ≤ b) =

a links, b rechts von X!

Nach dem „=“ steht die Wahrscheinlichkeit bei mehreren Versuchen (Personen usw.) also eine Zahl zwischen 0 und 1 (Prozent: zwei mal Komma veschieben)

Grundaufgaben

Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 8 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 3 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 11 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten 9 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten höchstens 10 weibliche Tiere geboren werden?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten mehr als 7 weibliche Tiere geboren werden?

auf die belegte Seite fallen wird

Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung
nach 8 Fallen und wie viel die Wahrscheinlichkeit,
dass das Brot 3 Mal auf die belegte Seite fällt?
Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung
nach 11 Fallen und wie viel die Wahrscheinlichkeit,
dass das Brot 9 Mal auf die belegte Seite fällt?
Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 13 Fallen
das Brot weniger als 3 Mal auf die belegte Seite fällt?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 13 Fallen
das Brot zumindest 3 Mal auf die belegte Seite fällt?

Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung
nach 5 mal Ziehen und wie viel die Wahrscheinlichkeit,
dass genau 3 der gezogenen Kugeln rot sind?
Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung
nach 16 mal Ziehen und wie viel die Wahrscheinlichkeit,
dass genau 12 der gezogenen Kugeln blau sind?
Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir nach 13 mal
Ziehen mehr als 9 roten Kugeln gezogen haben?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir nach 17 mal
Ziehen höchsten 5 roten Kugeln gezogen haben?

Eine ansteckende Person hat an einem Tag 14 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 12 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Eine ansteckende Person hat an einem Tag 9 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 13 geküssten Personen höchstens 4 angesteckt wurden?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 8 geküssten Personen die Hälfte oder mehr angesteckt wurden?

Matura

Wir haben 55 elektronische Geräte. Welche ist die wahrscheinlichste Anzahl von defekten A Teile und wie viele sind in Mittel erwartet?
Was ist der Unterschied zwischen Erwartungswert und wahrscheinlichsten Wert in diesem Zusammenhang?
Sei p die unbekannte Wahrscheinlichkeit, dass der Teil C defekt ist. Die Geräte werden in 3er-Packungen geliefert. Jemand bekommt a Packungen. Was wird in diesem Zusammenhang durch 3⋅a⋅p ausgedrückt und was durch ${\sqrt {3a\ p(1-p)\ }}$ ?

Sei p die unbekannte Wahrscheinlichkeit, dass der Teil C defekt ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 von b Geräte einen defekten C Teil haben, beträgt 98%. Welche der folgenden Gleichungen beschreibt diesen Zusammenhang?

$1-(1-p)^{b}=0{,}02$
$(1-p)^{b}=0{,}02$
$1-(1-p)^{b}=0{,}98$
$(1-p)^{b}=0{,}98$
$1-p^{b}=0{,}98$

Berechnen Sie im letzten Fall p, wenn b gleich 8 ist und b wenn p gleich 0,012 ist!
Stellen wir uns folgenden Vorgang bei der Selektion von Geräten vor: Ist Teil B defekt, geht das Gerät nicht durch die Kontrolle, in jedem anderen Fall schon. Der Vorgang wird 18 mal wiederholt. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Geräten mit defekten A Teil. Gilt die Binomialverteilung hier, ja oder nein und warum?

Wir haben 3 elektronische Geräte. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 C Teile defekt sind, ist 99,83%. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufällig ausgewählten Gerät der C Teil defekt ist?

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E wird durch $\textstyle P(E)={\binom {48}{4}}\cdot 0{,}03^{4}\cdot 0{,}97^{44}\$ angegeben. Beschreiben Sie das entsprechende Ereignis!

Eine ansteckende Person hat an einem Tag 14 Personen so geküsst. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau bzw. höchstens 4 Personen mit dem Virus X angesteckt wurden?
Eine ansteckende Person hat an einem Tag 19 Personen so geküsst. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 Personen mit dem Virus Q angesteckt wurden?

Sei p die unbekannte Ansteckungswahrscheinlichkeit eines weiteren Virus R. Was wird durch

$P(E)={\tbinom {11}{7}}\cdot p^{4}\cdot (1-p)^{7}\$
$P(E)=\sum _{i=0}^{7}{\tbinom {11}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{7-i}\$
$P(E)={\tbinom {11}{7}}\cdot p^{7}\cdot (1-p)^{4}\$

ausgedrückt?

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau sieben von elf Personen nicht angesteckt werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau sieben von elf Personen angesteckt werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest sieben von elf Personen angesteckt werden.
Nichts. Die Formel weist einen Fehler auf.
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens sieben von elf Personen nicht angesteckt werden.

Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit dem Virus R angesteckt wird, ${\tfrac {3}{7}}\$ ist. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 7 bzw. 16 Personen zumindest 5 angesteckt werden?

Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 8 mal Ziehen mit Zurücklegen genau bzw. mindestens 3 gezogene Kugeln nicht weiß sind?

Es wird 5 mal mit Zurücklegen gezogen. Wählen Sie aus der folgenden Tabellen die richtigen Ausdrücke aus, damit der folgende Satz stimmt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ___(A)___, ist durch die Formel ___(B)___ gegeben.

(A)		$\qquad$	(B)
alle 5 Kugeln blau sind	$\ A1\$		$\textstyle 1-\left({\frac {3}{14}}\right)^{5}$	$\ B1\$
höchstens 4 Kugeln grün sind	$\ A2\$		$\textstyle 1-\left({\frac {4}{14}}\right)^{5}$	$\ B2\$
mindestens eine Kugel nicht weiß ist	$\ A3\$		$\textstyle \left({\frac {5}{14}}\right)^{5}$	$\ B3\$

In einem Hotel mit 74 Zimmern ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zimmer storniert wird, 2,7%. 77 Zimmer werden gebucht.

Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Hotel überbesetzt wird?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau bzw. höchstens 2 Zimmer leer bleiben?

Eine ansteckende Person hat an einem Tag 14 Personen mit Handschlag begrüsst. Welche ist die wahrscheinlichste Anzahl von Ansteckungen mit dem Virus X und wie viele sind in Mittel erwartet?
Was ist der Unterschied zwischen Erwartungswert und wahrscheinlichsten Wert in diesem Zusammenhang?
Sei p die unbekannte Ansteckungswahrscheinlichkeit eines weiteren Virus R. Eine Person hat an einem Tag K Paare mit Handschlag begrüsst. Was wird in diesem Zusammenhang durch $2\cdot p\cdot K\$ bzw. ${\sqrt {2\cdot p\cdot K\ \cdot (1-p)}}\$ ausgedrückt?
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E wird durch $\textstyle P(E)={\binom {13}{4}}\cdot 0{,}04^{4}\cdot 0{,}96^{9}\$ gegeben. Beschreiben Sie das entsprechende Ereignis!

Sei p die unbekannte Ansteckungswahrscheinlichkeit eines weiteren Virus T. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens z-1 von z Personen angesteckt werdnen ist 97%. Welche der folgenden Gleichungen beschreibt diesen Zusammenhang?

$1-(1-p)^{z}=0{,}03$
$(1-p)^{z}=0{,}03$
$1-(1-p)^{z}=0{,}97$
$(1-p)^{z}=0{,}97$
$1-p^{z}=0{,}97$

Berechnen Sie im letzten Fall p, wenn z gleich 8 ist und z wenn p gleich 0,92 ist!

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 von 10 Personen vom Virus L angesteckt werden, beträgt 44%. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einen Handschlag eine Person angesteckt wird?

Stellen wir uns folgenden Vorgang vor: Wenn eine Person für das Virus X positiv ist, wird sie nicht für den Virus R getestet. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der vom Virus R angesteckten Personen. Gilt die Binomialverteilung hier, ja oder nein und warum?

Wir haben 77 elektronische Geräte. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 3 defekte A Teile haben?
Wir haben 69 elektronische Geräte. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir genau bzw. mindestens 6 defekte B Teile haben?

Sei p die unbekannte Wahrscheinlichkeit, dass der Teil C defekt ist. Was wird durch

$P(E)={\tbinom {9}{3}}\cdot p^{3}\cdot (1-p)^{6}\$
$P(E)=\sum _{i=3}^{9}{\tbinom {9}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{9-i}\$

ausgedrückt?

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei von neuen Geräten keinen defekten C Teil haben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei von neuen Geräten einen defekten C Teil haben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest drei von neuen Geräten einen defekten C Teil haben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens sechs von neuen Geräten einen defekten C Teil haben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zumindest drei von neuen Geräten keinen defekten C Teil haben.

Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät einen defekten C Teil hat, ${\tfrac {3}{223}}\$ ist. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 bzw. 223 Geräte höchstens 4 defekt sind?

Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 8 mal Ziehen mit Zurücklegen genau bzw. mindestens 3 gezogene Kugeln schwarz sind?

Es wird 4 mal mit Zurücklegen gezogen. Wählen Sie aus der folgenden Tabellen die richtigen Ausdrücke aus, damit der folgende Satz stimmt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ___(A)___, ist durch die Formel ___(B)___ gegeben.

(A)		$\qquad$	(B)
alle 4 Kugeln schwarz sind	$\ A1\$		$\textstyle 1-\left({\frac {4}{11}}\right)^{4}$	$\ B1\$
höchstens 3 Kugeln schwarz sind	$\ A2\$		$\textstyle 1-\left({\frac {7}{11}}\right)^{4}$	$\ B2\$
mindestens eine Kugel nicht schwarz ist	$\ A3\$		$\textstyle \left({\frac {7}{11}}\right)^{4}$	$\ B3\$

In einem Hotel mit 83 Zimmer ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zimmer storniert wird, 4,7%. 85 Zimmer werden gebucht.

Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Hotel überbesetzt wird?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau bzw. höchstens 3 Zimmer leer bleiben?

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