Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein!

Baumdiagramm

Aufpassen! Wenn der Vorgang MIT zurücklegen ist, dann kann es wohl sein, dass KEIN Baumdiagramm notwendig ist (sondern Binomialverteilung).

• Sind die Wahrscheinlichkeiten untereinander: multiplizieren. Beispiel: Wahrscheinlichkeit das eine Person Gruppe A und Rhesus positiv ist:
  P(A+)=0,31⋅0,82
• Gibt es mehrere "Pfade" nebeneinander: die entsprechenden Produkte addieren! Beispiel: Wahrscheinlichkeit das eine Person Rhesus positiv ist:
  P(Rhesus +)=0,31⋅0,82+0,14⋅0,8+0,43⋅0,82+0,12⋅0,82
• Die Summe der Produkte bei jeder "Zeile" soll immer 1 sein: beim Gegenereignis benutzen!
• Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein! Gibt es beispielsweise 2 Personen, die rote Kondome benutzen und 7, die andere Verhütungsmittel benutzen, müssen beim ersten Schritt die Brüche ${\displaystyle {\tfrac {2}{9}}}$ bzw. ${\displaystyle {\tfrac {7}{9}}}$ benutzt werden (also im Nenner immer die Summe und im Zähler die entsprechende Anzahl). Ist der Versuch ohne Zurücklegen, wird der Nenner bei jedem Schritt um 1 weniger, sonst bleibt er gleich.
• Vorsicht "Zumindest 1" deutet auf die Gegenwahrscheinlichkeit an! Wenn dieser Ausdruck vorkommt, dann rechnet man 1 minus die Wahrscheinlichkeit von "keins" (das ist dann nur ein Pfad im Baumdiagramm)

Vektoren

Seien ${\displaystyle A={\binom {x_{A}}{y_{A}}}}$, ${\displaystyle B={\binom {x_{B}}{y_{B}}}}$ zwei Punkte und ${\displaystyle {\vec {u}}={\binom {u_{x}}{u_{y}}}}$ ein Vektor.

• ${\displaystyle {\vec {AB}}={\binom {x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}}}$
• Betrag (Länge): ${\displaystyle \left|{\vec {u}}\right|={\sqrt {u_{x}^{\ 2}+u_{y}^{\ 2}}}}$ (nach dem Satz von Pythagoras, siehe Bild)

Seien ${\displaystyle {\vec {a}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}}$ zwei Vektoren.

• Strichrechnungen: ${\displaystyle {\vec {a}}\pm {\vec {b}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}\pm {\binom {b_{1}}{b_{2}}}={\binom {a_{1}\pm b_{1}}{a_{2}\pm b_{2}}}}$
• Zahl mal Vektor: ${\displaystyle m\cdot {\binom {b_{1}}{b_{2}}}={\binom {m\cdot b_{1}}{m\cdot b_{2}}}}$
• Skalarprodukt: ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}\cdot {\binom {b_{1}}{b_{2}}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}}$
  • Wenn das Skalarprodukt null ist, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren 90° ("sie stehen normal auf einander") un dumkegehrt, also wenn die Vektoren normal aufeinander stehen, dann ist ihr Skalarprotukt null.

Folgen

• Mit der expliziten Formel wird das n-te Glied der Folge mit Hilfe des ersten berechnet.
• Mit der rekursiven Formel wird das nächste Glied mit Hilfe des vorherigen berechnet. Das erste Glied muss angegeben sein.

Arithmetische Folge

• Entspricht der linearen Funktion
• Jedes nächste Glied ist um eine Zahl d mehr als das vorherige. Diese Zahl d nennt man Differenz (ist sie ja auch).
• Explizite Formel: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\quad n\in \mathbb {N} _{*}}$
  n zeigt die Reihung des Glieds in der Folge
• Rekursive Formel: ${\displaystyle a_{1},\ \ a_{n+1}=a_{n}+d\quad n\in \mathbb {N} _{*}}$ → Das erste Glied ist ${\displaystyle a_{1},\ }$das (n+1)-te Glied ist so viel wie das n-te Glied plus die Differenz d.

Geometrische Folge

• Entspricht der exponentiellen Funktion
• Jedes nächste Glied wird mit einer Zahl q multipliziert. Diese Zahl q nennt man Quotient (ist sie ja auch).
• Explizite Formel: ${\displaystyle b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}\quad n\in \mathbb {N} _{*}}$
  n zeigt die Reihung des Glieds in der Folge
• Rekursive Formel: ${\displaystyle b_{1},\ \ b_{n+1}=b_{n}\cdot q\quad n\in \mathbb {N} _{*}}$ → Das erste Glied ist ${\displaystyle b_{1},\ }$das (n+1)-te Glied ist so viel wie das n-te Glied mal den Quotient q.

Mengenlehre

${\displaystyle S1\bigcup S2\ }$Vereinigung: Alles zusammen! Ausdruck: z.B. das eine oder das andere
${\displaystyle S1\bigcap S2\ }$Schnitt: was gleichzeitig zu beiden gehört (unter dem Becher)! Ausdruck: Gleichzeitig - sowohl als auch
${\displaystyle S1\setminus S2\ }$Differenz: das Erste ohne das, was dann auch zu zweite gehört! Ausdruck: Ohne

Bei Venn-Diagramm-Aufbau Aufgaben: immer mit der kleinsten Teilmenge anfangen, die angegeben oder zu berechnen ist. Das soll in der Regel entweder die Anzahl der Objekte, die keine der angegebenen Eigenschaften haben, sein, oder die Anzahl der Objekte die alle angegebenen Eigenschaften haben.

Geometrie

! AUFPASSEN: Einheiten müssen immer übereinstimmen!

Die Formeln kannst du immer in der Formelsammlung finden. Es gibt (zumindest) vier Varianten:

• Wenn das, was auch immer allein auf der linken Seite einer Formel steht gefragt wird und all der Rest gegeben ist (z.B. x-Wert gegeben), dann KEINE löse in Geogebra benutzen (sondern einfach als Taschenrechner benutzen). Wenn das Volumen (Symbol: V) eines Würfels gefragt wird und seine Kante (Symbol: a) gegeben ist, dann ist die Formel (in der Formelsammlung schauen):
  ${\displaystyle V=a^{3}}$
  V steht auf der rechten Seite der Gleichung. Du benutzt also Geogebra als Taschenrechner (ohne V= einzugeben). Du setzt einfach den Wert von der Kante (a) ein.
• Was auf der linken Seite der Formel ganz allein steht, kann auch gegeben sein. Beispiel: ${\displaystyle V=a^{3},}$ Volumen V gegeben und a wird gefragt. → löse OHNE geschweifte Klammer und OHNE Beistriche!
• Wenn wir NUR eine Gleichung haben aber mehrere Symbole, dann benutzen wir löse OHNE geschweifte Klammern, allerdings mit Beistrich. Nach dem Beistrich steht das Symbol, auf das wir die Gleichung lösen wollen (sonst weiß GeoGebra nicht, auf welches Symbol die Gleichung zu lösen ist). Beispiel: ${\displaystyle V=a^{3},}$ Formel für a wird gefragt. → löse OHNE geschweifte Klammer, Formel eingeben, Beistrich a (auf a muss die Gleichung gelöst werden, weil das gefragt wird).
• Es kann auch sein, dass wir zwei (oder sogar mehrere) Schritte brauchen, wenn das gefragte berechnet werden muss, aber die Sachen in seiner Formel nicht gegeben sind. Beispiel: ${\displaystyle V=a^{3},}$ Das Volumen wird gefragt, die Oberfläche ist gegeben. In der Formel für die Oberfläche ${\displaystyle O=6a^{2}}$ den Wert der Oberfläche einsetzen und mit löse die Kante a finden. Diesen Wert dann in die Formel fürs Volumen einsetzen (ohne "löse").

Grundwissen Einheiten:

Phys. Größe	Einheiten
Zeit (t)	Tag	24	h	60	min	60	s	1000	ms
Masse (m) ("Gewicht")	t	1000	kg	1000	g	1000	mg
Abstand (d, ${\displaystyle \ell }$,...) (Strecke, ...)	km	1000	m	10	dm	10	cm	10	mm
Fläche (A)	km²	1000²	m²	10²	dm²	10²	cm²	10²	mm²
Volumen (V)	km³	1000³	m³	10³	dm³	10³	cm³	10³	mm³
Umrechnung	groß	${\displaystyle ----\longrightarrow }$			mal	${\displaystyle ----\longrightarrow }$			klein
		${\displaystyle \longleftarrow ----}$			durch	${\displaystyle \longleftarrow ----}$

Zusammengesetzte Figuren

Jede Formel, die in der Figur vorkommt, muss man addieren oder subtrahieren, je nachdem, wie die Angabe ist. Außerdem muss man Variablen in der Formel (Seiten, Höhe oder was auch immer) auf die angegebene Größe anpassen. Beispiel:

Die dunkle Fläche (im Koordinatengitter) ist gefragt, die Seite des äußersten Quadrats a ist angegeben. Wir merken, dass von der Fläche des äußersten Quadrats, die Fläche des inneren Quadrats und der zwei kleineren Kreisen subtrahiert werden muss (sie sind weiß) und die Fläche des größeren Kreises (etwa in der Mitte) addiert werden muss (er ist dunkel). Die Formel fürs Quadrat ist A=a² (a ist die entsprechende Seite) und für den Kreis πr² (r ist der entsprechende Radius). Für das äußerste Quadrat sollen wir die Formel, wie sie ist benutzen (seine Seite ist a). Für das innnere Quadrat gilt, dass seine Seite die Hälfte der Seite des äußersten Quadrats ist, also es gilt: ${\displaystyle A_{kQ}=\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}}$ Der Radius jeden kleinen Kreises ist ein Sechstel der Seite des Quadrats und des großen Kreises ein Viertel. Daher gilt insgesamt:

${\displaystyle A=a^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}-2\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}+\pi \left({\tfrac {a}{4}}\right)^{2}}$

Trigonometrie

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\ }$

${\displaystyle \ \cos \theta ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\ }$

${\displaystyle \ \tan \theta ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\ }$

wobei ${\displaystyle \theta }$ irgendein nicht rechter Winkel in einem Rechtwinkeligen Dreieck.

Für ein rechtwinkeliges Dreieck mit Seiten a, b (Katheten), c (Hypotenuse) und entsprechenden gegenüberliegenden Winkel ${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma }$

${\displaystyle \textstyle \sin \beta ={\frac {b}{c}}(=\cos \alpha )\ }$

${\displaystyle \textstyle \cos \beta ={\frac {a}{c}}(=\sin \alpha )}$

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {\text{b}}{\text{a}}}}$

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\text{a}}{\text{b}}}}$

da gegenüber von ${\displaystyle \beta }$ die Kathete b ist (und gegenüber von ${\displaystyle \alpha }$ die Kathete a).

Für tan gilt auch:
${\displaystyle \tan \alpha {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$

da
${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\ ={\frac {a}{b}}={\frac {c\ \sin \alpha }{c\ \cos \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$

(Vergleiche mit dargestellten rechtwinkeligen Dreieck)

Trigonometrische Umkehrfunktionen:

${\displaystyle \arcsin ,\ \arccos \ }$bzw. ${\displaystyle \ \arctan \ }$
oder ${\displaystyle \sin ^{-1},\ \cos ^{-1}\ }$bzw. ${\displaystyle \ \tan ^{-1}\ }$ (besonders bei Taschenrechnern)

Die Anwendung ist bei jeder Aufgabe unterschiedlich. Wenn der Winkel gefragt wird, dann benutzen wir arctand (oder atand), arcsind (oder asind) und arccosd (oder acosd).

Textaufgaben Schlussbegriff für trigonometrische Funktionen: Wiederholung! (wie so wie so...)

Sinussatz:

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}}$

Kosinussatz:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \gamma \qquad }$ (usw.)

Kosinussatz wird angewandt, wenn es um einen Winkel und die Seiten an diesem Winkel oder wenn es um drei Seiten (gefragt wird dann ein Winkel) geht, Sinussatz in jedem anderen Fall.

Einheitskreis

Kreis, dessen Mittelpunkt sich am Anfang des (kartesischen) Koordinatensystems befindet und dessen Radius 1 ist. Der Winkel wird als Drehung im Bezug auf dem rechten Teil der x-Achse gemessen. Da der Radius 1 ist, ist der Umfang 2π. Das wird als Basis für die Winkeleinheit "Radiant" (Symbol: rad) benutzt. 360° Winkel ist so viel wie 2π rad.

• 
  Winkel mit gleichen Kosinus
  ${\displaystyle \omega \ {\text{und }}360^{\circ }-\omega }$
• 
  Winkel mit gleichen Sinus
  ${\displaystyle \omega \ {\text{und }}180^{\circ }-\omega }$
• 
  Winkel mit gleichen Sinus und Kosinus
  ${\displaystyle \omega \ {\text{und }}360^{\circ }+\omega }$

Trigonometrische Funktion

${\displaystyle A_{0}}$ ist die Amplitude, ${\displaystyle \phi }$ die Phase, ${\displaystyle f}$ die Frequenz. Falls die Frequenz 1 ist, ist der "Berg zu Berg" Abstand ${\displaystyle 2\pi }$ (also ${\displaystyle 360^{\circ }}$), falls sie mehr als 1 ist, ist dieser Abstand kleiner. Die Phase ist nach links positiv.

Diagramme

In Bearbeitung

1. ↑ BIPM – SI prefixes (englisch) – „BIPM – SI-Broschüre“, 8. Auflage, März 2006, Abschnitt 3.1: SI-Präfixe