Addition

Eine Addition lässt sich in jeder Menge definieren. Hier ist die Additionstafel der ersten Zahlen.

Die Addition ist kommutativ a + b = b + a

Verdopplung

Addiert man eine Zahl zu sich selbst, so verdoppelt sich diese.

Man schreibt a + a = 2a

Hier ist die Verdopplungsreihe für die ersten Zahlen:

Multiplikation

Man kann das Verdoppeln auf beliebige Vielfache verallgemeinern:

• ${\displaystyle a=1\cdot a}$
• ${\displaystyle a+a=2\cdot a}$
• ${\displaystyle a+a+a=3\cdot a}$
• ${\displaystyle a+a+a+a=4\cdot a}$

usw.

Hier ist die als Einmaleins bekannte Multiplikationstabelle:

• Die Multiplikation ist kommutativ: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$
• Es gibt ein Element 0 mit ${\displaystyle 0\cdot a=a\cdot 0=0}$
• Es gibt ein Element 1 mit ${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$

Quadrieren

Multipliziert man eine Zahl mit sich selbst, so nennt man das Quadrieren:

Man schreibt ${\displaystyle a\cdot a=a^{2}}$

Hier ist die Tabelle der Quadrate der ersten Zahlen

Potenzieren

Auch das Quadrieren lässt sich verallgemeinern:

• ${\displaystyle 1=a^{0}}$
• ${\displaystyle a=a^{1}}$
• ${\displaystyle a\cdot a=a^{2}}$
• ${\displaystyle a\cdot a\cdot a=a^{3}}$
• ${\displaystyle a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{4}}$
• ${\displaystyle a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{5}}$

usw.

Die erste Zahl heißt Basis, die zweite Exponent, das Ergebnis heißt Potenz.

• Achtung: das Potenzieren ist nicht mehr kommutativ: ${\displaystyle a^{b}}$ ist ungleich ${\displaystyle b^{a}}$

Hier ist die Potenztabelle der ersten Zahlen:

Die Potenzen sind wichtig für die unterschiedlichen Zahldarstellungen

Summe einer Zahlenreihe

1 = 1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1+2+3+4 = 10

1+2+3+4+5 = 15

1+2+3+4+5+6 = 21

Summe von 1 bis n = n*(n+1)/2 (${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={{n\cdot (n+1)} \over 2}}$)

Das sind die so genannten Dreieckszahlen.

Summe der ungeraden Zahlen

1 = 1

1+3 = 4

1+3+5 = 9

1+3+5+7 = 16

1+3+5+7+9 = 25

Summe der ersten n ungeraden Zahlen: ${\displaystyle n^{2}}$

Fakultät

${\displaystyle 0!=1}$

${\displaystyle 1=1!=1}$

${\displaystyle 1\cdot 2=2!=2}$

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3=3!=6}$

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=4!=24}$

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=5!=120}$

usw.

Die Anzahl der Permutationen (Vertauschungen) einer Menge mit n Elementen ist n!

Subtraktion

ist die Umkehroperation der Addition

Wenn a + x = b,

dann ist x = b - a

in den Natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung, wenn a < b

Will man für a > b ebenfalls eine Lösung, so ergeben sich die ganzen Zahlen.

Halbieren

ist die Umkehroperation der Verdopplung

Wenn 2x = a, dann ist x = a:2

In den natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung, wenn a gerade ist.

Im Zehnersystem gilt: a ist gerade, wenn die letzte Ziffer 0,2,4,6 oder 8 ist.

Dividieren

ist die Umkehroperation der Multiplikation

Wenn ${\displaystyle a\cdot x=b}$,

dann ist x= b:a, man schreibt auch x= b/a

in den natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung,

1. wenn a < b, und
2. wenn b durch a teilbar ist, und
3. wenn a nicht 0 ist.

Will man, dass die Gleichung auch dann eine Lösung hat, wenn b nicht durch a teilbar ist, ergeben sich die rationalen Zahlen.

Im Zehnersystem gilt:

a ist durch 2 teilbar wenn die letzte Ziffer 0,2,4,6,8 ist

a ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist

a ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl der letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist

a ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist

a ist durch 6 teilbar, wenn a durch 3 und 2 teilbar ist

a ist durch 7 teilbar, wenn das doppelte der letzten Ziffer von der verbleibenden Zahl abgezogen, durch 7 teilbar ist

a ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl der letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar ist

a ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist

a ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Auch dann, wenn die Division nicht funktioniert, kann man noch eine "Teilbarkeitsverwandtschaft" feststellen. Zwei Zahlen können gemeinsame Teiler haben: Zum Beispiel haben 36 und 24 die gemeinsamen Teiler: 12, 6, 4, 3, 2. Der größte davon, eben der größte gemeinsame Teiler, hier also 12, ist eine sehr wichtige Zahl, die mit einem besonderen Verfahren, dem so genannten euklidischen Algorithmus, für beliebige natürliche Zahlen berechnet werden kann. Ist der ggT von zwei Zahlen a und b die Zahl b, dann funktioniert die Division. Ist der ggT 1, so heißen die Zahlen relativ prim oder teilerfremd.

das Quadratwurzelziehen

ist die Umkehroperation des Quadrierens (zumindest, wenn man die Vorzeichen außer Betracht lässt). Eine Quadratwurzel ist immer eine positive Zahl. Beispiel:

${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,{\sqrt {25}}=5,{\sqrt {1}}=1}$

Wenn ${\displaystyle x^{2}=9}$ ist, gibt es zwei Lösungen: ${\displaystyle x={\sqrt {9}}=3}$ und ${\displaystyle x=-{\sqrt {9}}=-3}$, weil sowohl

${\displaystyle 3^{2}=9}$ als auch ${\displaystyle (-3)^{2}=9}$

Mann kann auch die Quadratwurzel aus positiven Zahlen ziehen die keine Quadrate sind:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1{,}41421356\dots ,{\sqrt {3}}=1{,}73205\dots ,{\sqrt {99}}=9{,}94987\dots }$,

Betrachte die Reihe der Quadratzahlen und die Summe der ungeraden Zahlen.

Zwar gibt es keine unmittelbar einsichtige Regel, wann die Gleichung ${\displaystyle x^{2}=a}$ eine ganze Zahl als Lösung hat, aber z. B. kann Sie keine Lösung haben wenn, die letzte Ziffer von a 2,3,7 oder 8 ist.

Will man dass die Gleichung auch für negative a eine Lösung hat, dann ergeben sich die komplexen Zahlen (z. B. ${\displaystyle x^{2}=-1\rightarrow x=\pm i}$).

Radizieren (allgemeines Wurzelziehen)

Wenn ${\displaystyle x^{b}=c}$, dann ist ${\displaystyle x={\sqrt[{b}]{c}}}$ (b-te Wurzel aus c)

Logarithmieren

Wenn ${\displaystyle a^{x}=c}$, dann ist ${\displaystyle x={\log _{a}}c}$ (Logarithmus c zur Basis a), c darf dabei nie 0 sein.

Durchschnitt

${\displaystyle a+b \over 2}$ der Durchschnitt zweier Zahlen wird gebildet, indem man die Summe der beiden Zahlen durch 2 teilt. In den natürlichen Zahlen ist der Durchschnitt nur definiert wenn beide Zahlen gerade oder beide Zahlen ungerade sind.

Der Durchschnitt mehrerer Zahlen wird gebildet indem man die Zahlen alle addiert, und ihre Summe durch die Anzahl der Zahlen teilt.

(n Zahlen): ${\displaystyle a+b+c+\dots +z \over n}$

Kettenendendifferenzen

Differenz der letzten und ersten Zahlen ${\displaystyle n+(n-1)+(n-2)+\dots +(n-k+1)-(1+2+\dots +k)=n\cdot k}$, wenn ${\displaystyle k<{\frac {n}{2}}}$

Binominalkoeffizienten

Quotient aus den letzten und ersten Zahlen

${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot (n-k+1)} \over {1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot k}}={n \choose k}}$, n>k. Gesprochen: n über k.

Hier ist die als Pascal'sches Dreieck bezeichnete Tabelle der ersten Binomialkoeffizienten

Beachte:

Die Summe der n-ten Zeile ist ${\displaystyle 2^{n}}$

Die erste Spalte besteht nur aus Einsen

Die zweite Spalte enthält die natürlichen Zahlen

Die dritte Spalte enthält die Summe der ersten Zahlen, d.h. die Dreieckszahlen

Die Zeilen sind spiegelsymmetrisch

Jeder Binomialkoeffizient ist die Summe der beiden über ihm stehenden Koeffizienten.

Exponenzieren

Der Exponens ${\displaystyle e^{a}\,}$ oder exp(a) von a ist

${\displaystyle e^{a}=1+a+{\frac {a^{2}}{2!}}+{\frac {a^{3}}{3!}}+{\frac {a^{4}}{4!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}}{n!}}}$

Diese Funktion taucht bei der Zinseszinsrechnung auf und von ihr lassen sich auch die trigonometrischen Funktionen ableiten.

Betrag

Für reelle Zahlen a ist:

|a| = a, wenn a positiv ist

und

|a| = a, wenn a negativ ist

Deshalb gilt:

${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}$

Signum

Die Funktion sign, Signum, bestimmt das Vorzeichen und gibt es als +1, -1 oder 0 zurück.

sign(a) = +1 wenn a positiv ist.

sign(a) = -1 wenn a negativ ist.

sign(a) = 0 wenn a neutral (0) ist.

Komplex Konjugierte

Das komplex Konjugierte einer komplexen Zahl c=a+bi ist die komplexe Zahl a-bi. Mann schreibt:

${\displaystyle {\overline {c}}={\overline {a+bi}}=a-bi}$.

Phase, Argument

Eine komplexe Zahl z=a+bi kann man auch vorstellen als:

${\displaystyle z=|z|\,e^{\arg(z)i}}$.

Darin ist arg(z) der Winkel zwischen dem Vektor z und die reelle Achse. Dieser Winkel lasst sich bestimmen als Lösung der Gleichungen:

${\displaystyle \cos(\arg(z))={\frac {a}{|z|}}}$

${\displaystyle \sin(\arg(z))={\frac {b}{|z|}}}$.