Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}5\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&=&5\\3\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-1\end{array}}}$

Mit der Koeffizientenmatrix ${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}5&3\\3&1\\\end{array}}\right)}$ und dem Ergebnisvektor ${\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}5\\-1\\\end{pmatrix}}}$ lässt sich das Gleichungssystem schreiben als:

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}5&3\\3&1\\\end{array}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-1\\\end{pmatrix}}}$

Die inverse Matrix zu ${\displaystyle \left.A\right.}$ ist ${\displaystyle A^{-1}=\left({\begin{array}{cc}-1/4&3/4\\3/4&-5/4\\\end{array}}\right)}$.

Es gilt

${\displaystyle {\begin{array}{lrcl}&A\cdot {\vec {x}}&=&{\vec {b}}\\\Leftrightarrow &\underbrace {A^{-1}\cdot A} _{=I}\cdot {\vec {x}}&=&A^{-1}\cdot {\vec {b}}\\\Leftrightarrow &I\cdot {\vec {x}}&=&A^{-1}\cdot {\vec {b}}\\\Leftrightarrow &{\vec {x}}&=&A^{-1}\cdot {\vec {b}}\\\end{array}}}$

Also ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}=\left({\begin{array}{cc}-1/4&3/4\\3/4&-5/4\\\end{array}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}5\\-1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5/4-3/4\\15/4+5/4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\5\\\end{pmatrix}}}$

Die Lösungen lauten also ${\displaystyle \left.x_{1}=-2\right.}$ und ${\displaystyle \left.x_{2}=5\right.}$.

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