Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}(1)&5\cdot x_{1}&+&3\cdot x_{2}&=&5\\(2)&3\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-1\end{array}}}$

Durch Einsetzen eines Terms für eine Variable, soll diese eliminiert werden. Daher muss eine der Gleichungen zunächst nach dieser Variable aufgelöst werden. Exemplarisch wird hier die Gleichungen (2) nach ${\displaystyle \left.x_{2}\right.}$ aufgelöst:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccc}(2)&3\cdot x_{1}&+&x_{2}&=&-1&&&|&-&3x_{1}\\(2^{*})&&&x_{2}&=&-1&-&3\cdot x_{1}\end{array}}}$

Dieser Term ${\displaystyle \left.(-1-3\cdot x_{1})\right.}$ kann jetzt anstelle von ${\displaystyle \left.x_{2}\right.}$ in Gleichung (1) eingesetzt werden. (Klammersetzung beachten!)

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}(1)&5\cdot x_{1}&+&3&\cdot &&x_{2}&&=&5\\&5\cdot x_{1}&+&3&\cdot &(-1&-&3\cdot x_{1})&=&5\\\end{array}}}$

Auflösen der Klammern und Zusammenfassen führt zu:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}5\cdot x_{1}&-&3&-&9\cdot x_{1}&=&5\\-4\cdot x_{1}&-&3&&&=&5\end{array}}}$

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen ${\displaystyle \left.x_{1}\right.}$ aufgelöst:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}-4\cdot x_{1}&-&3&=&5&|&+&3\\-4\cdot x_{1}&&&=&8&|&:&(-4)\\x_{1}&&&=&-2\end{array}}}$

Der Wert für die erste Variable ist also gefunden, durch Einsetzen des Ergebnisses in die bereits aufgelösten Gleichungen (2*) erhält man den zweiten gesuchten Wert.

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}(2^{*})&x_{2}&=&-1&-&3x_{1}\\&x_{2}&=&-1&+&6\\&x_{2}&=&5\end{array}}}$

Die Lösungen lauten also ${\displaystyle \left.x_{1}=-2\right.}$ und ${\displaystyle \left.x_{2}=5\right.}$.

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