Formelsammlung Mathematik: Komplexe Zahlen

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Darstellung

Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl.

Kartesische Form: $z=a+b\mathrm {i}$
Polarform (trigonometrische Darstellung): $z=r(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )$
Polarform (Exponentialdarstellung): $z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$

Elementare Operationen

Name	Operation	Polarform	kartesische Form
Identität	$z$	$=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$	$=a+b\mathrm {i}$
Identität	$z_{1}$	$=r_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{1}}$	$=a_{1}+b_{1}\mathrm {i}$
Identität	$z_{2}$	$=r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{2}}$	$=a_{2}+b_{2}\mathrm {i}$
Addition	$z_{1}+z_{2}$		$=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathrm {i}$
Subtraktion	$z_{1}-z_{2}$		$=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\mathrm {i}$
Multiplikation	$z_{1}z_{2}$	$=r_{1}r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}+\varphi _{2})}$	$=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\mathrm {i}$
Division	${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$	$={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}-\varphi _{2})}$	$={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+{\frac {a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\mathrm {i}$
Kehrwert	${\frac {1}{z}}$	$={\frac {1}{r}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \varphi }$	$={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i}$
Potenzierung	$z^{n}$	$=r^{n}\mathrm {e} ^{n\mathrm {i} \varphi }$
Konjugation	${\overline {z}}$	$=r\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \varphi }$	$=a-b\mathrm {i}$
Realteil	$\mathrm {Re} (z)$	$=r\cos \varphi$	$=a$
Imaginärteil	$\mathrm {Im} (z)$	$=r\sin \varphi$	$=b$
Betrag	$\|z\|$	$=r$	$={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Argument	$\mathrm {arg} (z)$	$=\varphi$	$=s(b)\arccos {\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}$

$s(b):={\begin{cases}+1&{\text{wenn}}\;b\geq 0,\\-1&{\text{wenn}}\;b<0\end{cases}}$

Rechenweg zur Division:

{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}{\overline {z_{2}}}}{z_{2}{\overline {z_{2}}}}}={\frac {z_{1}{\overline {z}}_{2}}{|z_{2}|^{2}}}

{\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z\,{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}

Konjugation

Für alle $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ gilt:

${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}$

${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2}$

${\overline {z_{1}z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\,{\bar {z}}_{2}$

$z_{2}\neq 0\implies {\overline {{\Big (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Big )}}}={\frac {{\bar {z}}_{1}}{{\bar {z}}_{2}}}$

$|{\bar {z}}|=|z|$

${\bar {\bar {z}}}=z$

$z{\bar {z}}=|z|^{2}$

$\operatorname {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$

$\operatorname {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$

${\overline {\mathrm {e} ^{z}}}=\mathrm {e} ^{\bar {z}}$

${\overline {\sin(z)}}=\sin({\bar {z}})$

${\overline {\cos(z)}}=\cos({\bar {z}})$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

{\overline {z^{x}}}={\bar {z}}^{\bar {x}}

{\overline {\ln(z)}}=\ln({\bar {z}})

\arg({\bar {z}})=-\arg(z)

Argument

Für alle $r>0$ , $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

\arg(rz)=\arg(z)

\arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg(z_{1})+\arg(z_{2}){\pmod {2\pi }}

\arg {\Big (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Big )}\equiv \arg(z_{1})+\arg(z_{2}){\pmod {2\pi }}

\arg {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}\equiv -\arg(z){\pmod {2\pi }}

\arg({\bar {z}})\equiv -\arg(z){\pmod {2\pi }}

\arg(z^{x})\equiv \arg(z)\operatorname {Re} (x)+\ln(|z|)\operatorname {Im} (x){\pmod {2\pi }}

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ gilt:

\arg({\bar {z}})=-\arg(z)

\arg {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}=-\arg(z)

Potenzen

Allgemeine Potenzfunktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} ,\;f(x,y):=x^{y}

.

Allgemeine Potenzfunktion

z=x^{y}

für die Umgebung von (0; 0). An der Stelle (0; 0) ist die Funktion unstetig.

Definitionen:

\mathrm {e} ^{z}:=\mathrm {e} ^{a}\cos(b)+\mathrm {i} \,\mathrm {e} ^{a}\sin(b)\qquad (z=a+b\mathrm {i} )

\ln(z):=\ln(|z|)+\operatorname {arg} (z)\,\mathrm {i} \qquad (z\neq 0)

z^{w}:=\mathrm {e} ^{w\ln(z)}\qquad (z\neq 0)

Für alle $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ gilt:

\mathrm {e} ^{z_{1}+z_{2}}=\mathrm {e} ^{z_{1}}\mathrm {e} ^{z_{2}}

\mathrm {e} ^{-z}={\frac {1}{\mathrm {e^{z}} }}

\mathrm {e} ^{z}\neq 0

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}=\cos(z)+\mathrm {i} \sin(z)

$\forall k\in \mathbb {Z} \colon \;\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1$

$\forall k\in \mathbb {Z} \colon \;\mathrm {e} ^{(2k+1)\pi \mathrm {i} }+1=0$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x,y\in \mathbb {C}$ gilt:

z^{x+y}=z^{x}z^{y}

z^{x-y}={\frac {z^{x}}{z^{y}}}

z^{-x}={\frac {1}{z^{x}}}

z^{0}=1

Für alle $r>0$ , $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

(rz)^{x}=r^{x}z^{x}

{\Big (}{\frac {z}{r}}{\Big )}^{x}={\frac {z^{x}}{r^{x}}}

{\Big (}{\frac {1}{r}}{\Big )}^{x}={\frac {1}{r^{x}}}=r^{-x}

Für alle $r>0$ , $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

{\Big (}{\frac {r}{z}}{\Big )}^{x}={\frac {r^{x}}{z^{x}}}

Wurzeln

Graph der Funktion f(z) = z⁵−1. Die Nullstellen von f heißen fünfte Einheitswurzeln. Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges n-Eck, dessen Zentrum im Koordinatenursprung liegt.

Sei $\varphi :=\arg(z)$ . Für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt:

z=w^{n}\iff w={\sqrt[{n}]{|z|}}\exp {\Big (}{\frac {\mathrm {i} \varphi +2k\pi \mathrm {i} }{n}}{\Big )},\;k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}.

Hauptwert:

{\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\exp {\Big (}{\frac {\mathrm {i} \varphi }{n}}{\Big )}.

Hauptwert, allgemein für $z,x\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ :

{\sqrt[{x}]{z}}:=\exp {\bigg (}{\frac {\ln(z)}{x}}{\bigg )}.

Logarithmen

Definitionen:

\ln(z):=\ln(|z|)+\operatorname {arg} (z)\,\mathrm {i} \qquad (z\neq 0)

\log _{b}(a):={\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}\qquad (a,b\in \mathbb {C} \setminus \{0\})

Logarithmus als Urbild der Exponentialfunktion:

\operatorname {Ln} (z):=\{w\mid \exp(z)=w\}

\operatorname {Ln} (z)=\{w\mid w=\ln(z)+2k\pi \mathrm {i} ,\;k\in \mathbb {Z} \}

Für alle $r>0$ und $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gilt:

\ln(rz)=\ln(r)+\ln(z)

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ gilt:

\ln {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}=-\ln(z)

Für alle $x,y\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gilt:

\ln(xy)\equiv \ln(x)+\ln(y)\quad {\pmod {2\pi \mathrm {i} }}

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

\ln(z^{x})\equiv x\ln(z)\quad {\pmod {2\pi \mathrm {i} }}

Aufgaben

Aufgabe 1

Ist

\alpha \,

eine fest vorgegebene komplexe Zahl und ist

z\,

eine komplexe Variable, so gilt

\left|z^{\alpha }\right|\in \Theta \left(|z|^{{\text{Re}}\,\alpha }\right)

für

|z|\to \infty \,

. (

\Theta

: Landau-Symbol)

Beweisskizze

Die Idee, $z^{\alpha }$ in Betrag und Winkelanteil aufzuspalten (d. h. in Polarform zu bringen), führt zum Erfolg.

Sei $r:=|z|$ und $\varphi :=\operatorname {arg} (z)$ .

Es ist $z^{\alpha }=(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi })^{\alpha }=r^{\alpha }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi \alpha }=\ldots =r^{\operatorname {Re} \alpha }\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }r^{\mathrm {i} \operatorname {Im} \alpha }e^{\mathrm {i} \varphi \operatorname {Re} \alpha }$ .

Somit gilt $|z^{\alpha }|=r^{\operatorname {Re} \alpha }\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }$ und daher ${\frac {|z^{\alpha }|}{|z|^{\operatorname {Re} \alpha }}}=\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }.$

Nun ist $\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }$ aber beschränkt, weil $-\pi <\varphi \leq \pi$ , und positiv, weil $\forall x{\in }\mathbb {R} \colon \,\mathrm {e} ^{x}>0$ .

Aufgabe 2

Sind

z_{1},z_{2}\,

komplexe Zahlen mit positivem Realteil und ist

\alpha \,

irgendeine komplexe Zahl, so ist

(z_{1}\cdot z_{2})^{\alpha }=z_{1}^{\alpha }\cdot z_{2}^{\alpha }

und

\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)^{\alpha }={\frac {z_{1}^{\alpha }}{z_{2}^{\alpha }}}

.

Beweis

$z_{1}=r_{1}e^{i\phi _{1}},z_{2}=r_{2}e^{i\phi _{2}}$ besitzen Darstellungen mit $-{\frac {\pi }{2}}<\phi _{1},\phi _{2}<{\frac {\pi }{2}}$ .

Dann ist $-\pi <\phi _{1}\pm \phi _{2}<\pi \,$ , und daher $\left(e^{i(\phi _{1}\pm \phi _{2})}\right)^{\alpha }=e^{i(\phi _{1}\pm \phi _{2})\alpha }$ .

Aufgabe 3

Ist

z\,

eine komplexe Zahl, so ist

0^{z}=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{Re}}(z)>0\\1&z=0\\{\text{nicht definiert}}&{\text{sonst}}\end{matrix}}\right.

.

ohne Beweis (Definition)

Aufgabe 4

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\,

Beweis (Formel von Fibonacci)

Aus $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\,$

folgt $|a+ib|^{2}\cdot |c+id|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2}$ .

Aufgabe 5

{\sqrt {a+ib}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}+i\,\Theta (b)\,{\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}

, mit

\Theta (b)=\left\{{\begin{matrix}1&,&b\geq 0\\\\-1&,&b<0\end{matrix}}\right.

Beweis

Für jede von Null verschiedene komplexe Zahl $a+ib\,$ gibt es stets zwei komplexe Zahlen die quadriert $a+ib\,$ ergeben.

Mit ${\sqrt {a+ib}}=x+iy$ soll der komplexe Hauptwert gemeint sein. Hier ist stets $x\geq 0$ und im Fall $x=0\,$ ist $y\geq 0$ .

Wenn $(x+iy)^{2}=a+ib\,$ sein soll, muss gelten $x^{2}-y^{2}=a\,,\,2xy=b$ und $x^{2}+y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ .

Daher ist $x^{2}={\frac {(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})}{2}}={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}\Rightarrow x={\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}\geq 0$

und $y^{2}={\frac {(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})}{2}}={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}\Rightarrow y=\Theta (b)\,{\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}$ ,

da im Fall $x>0\quad {\text{sgn}}(y)={\text{sgn}}(2xy)={\text{sgn}}(b)$ sein muss. Und im Fall $x=0\,$ , somit $b=0\,$ , soll $y\geq 0$ sein.

Vergleich verschiedener Darstellungen zum Thema bei Wikibooks

Die komplexen Zahlen werden in folgenden Büchern von Wikibooks behandelt:

Imaginäre und komplexe Zahlen ist eine kompakte und abgeschlossene Darstellung des Themas durch Siegfried Petry in einem Band, die auf seiner Homepage weiter gepflegt wird.
Komplexe Zahlen ist eine ausführlichere Darstellung mit einer stärkeren Gliederung und Ergänzungen.

Einzelne Kapitel anderer Bücher richten sich an bestimmte Zielgruppen:

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