Parameterdarstellung

Darstellung zu ${\displaystyle p=p_{0}+2{\vec {v}}}$
mit ${\displaystyle p_{0}={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}}}$ und ${\displaystyle p={\begin{bmatrix}10\\5\end{bmatrix}}}$.
In einem verschobenen Koordinatensystem bekommen die Ortsvektoren ${\displaystyle p_{0}}$ und ${\displaystyle p}$ (rot) andere Koordinaten. Die Koordinaten des Richtungsvektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (blau) bleiben jedoch erhalten, sofern das Koordinatensystem nicht gedreht wird.

Punktrichtungsform:

${\displaystyle p(t)=p_{0}+t{\vec {v}},}$

${\displaystyle g=\{p(t)\mid t\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle t}$	der Parameter
${\displaystyle p_{0}}$	der Stützpunkt
${\displaystyle p(t)}$	für jedes ${\displaystyle t}$ ein Punkt auf der Gerade
${\displaystyle {\vec {v}}\neq 0}$	der Richtungsvektor
${\displaystyle t{\vec {v}}}$	Verschiebungsvektoren
${\displaystyle g}$	die Gerade

Punktrichtungsform für die Ebene:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}+t\cdot {\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{0}+tv_{x}\\y_{0}+tv_{y}\end{bmatrix}}.}$

Punktrichtungsform für den Raum:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}+t\cdot {\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}.}$

Gerade durch zwei Punkte: Sind ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ zwei Punkte mit ${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$, so ist durch diese Punkte eine Gerade gegeben. Man setzt ${\displaystyle p_{0}:=p_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}:=p_{2}-p_{1}}$. Nach Umformung ergibt sich die Zweipunkteform.

Zweipunkteform:

${\displaystyle p(t)=(1-t)p_{1}+tp_{2}.}$

Zweipunkteform für die Ebene:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=(1-t)\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}+t\cdot {\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1-t)x_{1}+tx_{2}\\(1-t)y_{1}+ty_{2}\end{bmatrix}}.}$

Hierbei handelt es sich um eine Affinkombination.

Für ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ist es eine Konvexkombination: eine Parameterdarstellung für die Strecke von ${\displaystyle p_{1}}$ nach ${\displaystyle p_{2}}$.

Parameterfreie Darstellung

Hesse-Form:

${\displaystyle g=\{p\mid \langle {\vec {n}},p-p_{0}\rangle =0\},}$

${\displaystyle p_{0}}$: Stützpunkt, ${\displaystyle {\vec {n}}}$: Normalenvektor.

Die Hesse-Form ist nur in der Ebene möglich. In Koordinaten ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}g&=\{(x,y)\mid n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})=0\}\\&=\{(x,y)\mid n_{x}x+n_{y}y=n_{x}x_{0}+n_{y}y_{0}\}.\end{aligned}}}$

Hesse-Normalform: Hesse-Form mit ${\displaystyle |{\vec {n}}|=1}$.

Sei ${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}}$ das äußere Produkt.

Plückerform:

${\displaystyle g=\{p\mid (p-p_{0})\wedge {\vec {v}}=0\}.}$

Die Größe ${\displaystyle m=p_{0}\wedge {\vec {v}}}$ heißt Moment. Beim Tupel ${\displaystyle ({\vec {v}}:m)}$ handelt es sich um Plückerkoordinaten für die Gerade.

In der Ebene gilt speziell:

${\displaystyle g=\{(x,y)\mid (x-x_{0})\Delta y=(y-y_{0})\Delta x\}}$

mit ${\displaystyle {\vec {v}}=(\Delta x,\Delta y)}$.

Sei ${\displaystyle a:=\Delta y}$ und ${\displaystyle b:=-\Delta x}$ sowie ${\displaystyle c:=ax_{0}+by_{0}}$. Aus der letzten Gleichung ergibt sich:

${\displaystyle g=\{(x,y)\mid ax+by=c\}.}$

Im Raum ergibt sich ein Gleichungssystem:

${\displaystyle g=\{(x,y,z)\mid {\begin{vmatrix}(x-x_{0})\Delta y=(y-y_{0})\Delta x\\(y-y_{0})\Delta z=(z-z_{0})\Delta y\\(x-x_{0})\Delta z=(z-z_{0})\Delta x\end{vmatrix}}\}}$

mit ${\displaystyle {\vec {v}}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z)}$.

Abstand Punkt zu Gerade

Sei ${\displaystyle p(t):=p_{0}+t{\vec {v}}}$ die Punktrichtungsform einer Geraden und sei ${\displaystyle q}$ ein weiterer Punkt. Bei ${\displaystyle {\vec {d}}(t):=p(t)-q}$ handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von ${\displaystyle t}$.

Ansatz: Es gibt genau ein ${\displaystyle t}$, so dass gilt:

${\displaystyle \langle {\vec {d}},{\vec {v}}\rangle =0.}$

Lösung:

${\displaystyle t={\frac {\langle {\vec {v}},q{-}p_{0}\rangle }{\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle }}.}$

Parameterdarstellung

Seien ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}}$ zwei nicht kollineare Vektoren.

Punktrichtungsform:

${\displaystyle p(s,t)=p_{0}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}.}$

Parameterfreie Darstellung

Seien ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}}$ zwei nicht kollineare Vektoren. Durch

${\displaystyle E=\{p\mid (p-p_{0})\wedge {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}=0\}.}$

wird eine Ebene beschrieben. Hiermit kann auch eine Ebene im höherdimensionalen Raum beschrieben werden, es ergibt sich dann aber ein lineares Gleichungssystem.

Hesse-Form:

${\displaystyle E=\{p\mid \langle {\vec {n}},p-p_{0}\rangle =0\},}$

${\displaystyle p_{0}}$: Stützpunkt, ${\displaystyle {\vec {n}}}$: Normalenvektor. Die Hesse-Form einer Ebene ist nur im dreidimensionalen Raum möglich.

Den Normalenvektor bekommt man aus der Punktrichtungsform der Ebene mit

${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}$.

Es gilt

${\displaystyle \langle {\vec {n}},p-p_{0}\rangle =0\iff \langle {\vec {n}},p\rangle =\langle {\vec {n}},p_{0}\rangle .}$

Über den Zusammenhang ${\displaystyle {\vec {n}}=(a,b,c)}$, ${\displaystyle p=(x,y,z)}$ und ${\displaystyle d=\langle {\vec {n}},p_{0}\rangle }$ ergibt sich die

Koordinatenform:

${\displaystyle E=\{(x,y,z)\mid ax+by+cz=d\}.}$

Abstand Punkt zu Ebene

Sei ${\displaystyle p(s,t):=p_{0}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}}$ die Punktrichtungsform einer Ebene und sei ${\displaystyle q}$ ein weiterer Punkt. Bei ${\displaystyle {\vec {d}}(s,t):=p-q}$ handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von ${\displaystyle (s,t)}$.

Ansatz: Es gibt genau ein Tupel ${\displaystyle (s,t)}$, so dass gilt:

${\displaystyle \langle {\vec {d}},{\vec {u}}\rangle =0\;\;{\text{und}}\;\;\langle {\vec {d}},{\vec {v}}\rangle =0.}$

Lösung: Es ergibt sich ein LGS:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\langle {\vec {v}},q{-}p_{0}\rangle \\\langle {\vec {u}},q{-}p_{0}\rangle \end{bmatrix}}}$

mit ${\displaystyle {\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle &\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle \\\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle &\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle \end{bmatrix}}.}$

Die Lösung des LGS ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {\langle g_{12}{\vec {v}}-g_{12}{\vec {u}},q{-}p_{0}\rangle }{g_{11}^{2}-g_{12}^{2}}},\\t&={\frac {\langle g_{12}{\vec {u}}-g_{12}{\vec {v}},q{-}p_{0}\rangle }{g_{11}^{2}-g_{12}^{2}}}.\end{aligned}}}$