Binomische Formeln

Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring, z. B. ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$. Sei ${\displaystyle a,b\in R}$ und ${\displaystyle ab=ba}$. Dann gilt:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}$	(erste binomische Formel)
${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,}$	(zweite binomische Formel)
${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,}$	(dritte binomische Formel)

und:

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}$	${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,}$
${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,}$	${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,}$

Binomischer Lehrsatz

Sei ${\displaystyle R}$ ein unitärer Ring, z. B. ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$. Sei ${\displaystyle a,b\in R}$ und ${\displaystyle ab=ba}$. Dann gilt:

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}}$	${\displaystyle (a-b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}}$
${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$	${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$
${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$	${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$
${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}$	${\displaystyle (a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}}$
usw.	usw.

Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}.}$

Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}}}$

erzeugen.

Multinomialtheorem

Sei ${\displaystyle R}$ ein unitärer Ring. Sei ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in R}$, wobei die ${\displaystyle a_{i}}$ paarweise kommutieren. Es gilt

${\displaystyle (a_{1}+\ldots +a_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}a_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot a_{m}^{k_{m}}.}$

In Multiindex-Notation:

${\displaystyle (a_{1}+\ldots +a_{m})^{n}=\sum _{|k|=n}{\binom {n}{k}}a^{k}}$

mit

${\displaystyle k=(k_{1},\ldots ,k_{m}),}$

${\displaystyle |k|=k_{1}+\ldots +k_{m},}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}:={\frac {n!}{k_{1}!+\ldots +k_{m}!}},}$

${\displaystyle a^{k}=a_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot a_{m}^{k_{m}}.}$

Die ersten Formeln sind:

Potenzen

${\displaystyle a^{0}=1}$

${\displaystyle a^{1}=a}$

${\displaystyle a^{2}=a\cdot a}$

${\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}$

usw.

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n\,\mathbf {Faktoren} }}$

Definition für ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0}$:

${\displaystyle a^{0}:=1,\quad 0^{0}:=1,}$

${\displaystyle a^{n}:=a^{n-1}\cdot a.\quad (n\geq 1)}$

Für ${\displaystyle a\neq 0}$:

${\displaystyle a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}}.}$

Definition für ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a>0}$ und ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle a^{r}:=\exp(r\cdot \ln(a)).}$

Für ${\displaystyle r\neq 0}$:

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{a}}:=\exp \left({\frac {\ln(a)}{r}}\right)=a^{1/r}.}$

Potenzgesetze

Für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a,b>0}$ und ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }$ gilt:

${\displaystyle a^{r}a^{s}=a^{r+s}}$	${\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}}$	${\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{rs}}$
${\displaystyle (a\,b)^{r}=a^{r}b^{r}}$	${\displaystyle {\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}}$	${\displaystyle {\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{r}={\frac {1}{a^{r}}}}$

Ist zusätzlich ${\displaystyle r\neq 0}$, so gilt:

${\displaystyle ({\sqrt[{r}]{a}})^{s}={\sqrt[{r}]{a^{s}}}}$	${\displaystyle ({\sqrt[{r}]{a\,b}})^{s}={\sqrt[{r}]{a^{s}}}{\sqrt[{r}]{b^{s}}}}$	${\displaystyle \left({\sqrt[{r}]{\frac {a}{b}}}\right)^{s}={\frac {\sqrt[{r}]{a^{s}}}{\sqrt[{r}]{b^{s}}}}}$
${\displaystyle {\sqrt[{r}]{a^{s}}}=a^{s/r}}$	${\displaystyle {\sqrt[{r}]{a^{r}}}=a}$	${\displaystyle {\sqrt[{-r}]{a}}={\frac {1}{\sqrt[{r}]{a}}}={\sqrt[{r}]{\frac {1}{a}}}}$

Für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ,m,n\geq 0}$ gilt:

${\displaystyle (a\,b)^{n}=a^{n}b^{n}}$	${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$
${\displaystyle b\neq 0\implies \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

→ Potenzgesetze für komplexen Zahlen

Logarithmen

Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für ${\displaystyle a,x,y\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle a,x>0}$ und ${\displaystyle a\neq 1}$ gilt:

${\displaystyle x=a^{y}\iff y=\log _{a}(x).}$

Logarithmengesetze

Für ${\displaystyle x,y,a,r\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle x,y,a>0}$ und ${\displaystyle a\neq 1}$ gilt:

${\displaystyle \log(x\,y)=\log(x)+\log(y)}$	${\displaystyle \log(1)=0\,}$	${\displaystyle \log _{a}(x)={\frac {\log(x)}{\log(a)}}}$
${\displaystyle \log \left({\frac {x}{y}}\right)=\log(x)-\log(y)}$	${\displaystyle \log \left({\frac {1}{x}}\right)=-\log(x)}$
${\displaystyle \log(x^{r})=r\,\log(x)}$	${\displaystyle r\neq 0\implies \log({\sqrt[{r}]{x}})={\frac {1}{r}}\,\log(x)}$

Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt ${\displaystyle \log :=\log _{a}}$ für ein festes ${\displaystyle a}$ mit ${\displaystyle a>0}$ und ${\displaystyle a\neq 1}$. Meistens ist ${\displaystyle \log :=\ln }$ oder ${\displaystyle \log :=\lg }$.

Spezielle Logarithmen

	Bezeichnung	Definierende Eigenschaft	Basis
Natürliche Logarithmen	ln	${\displaystyle \mathrm {e} ^{\ln(x)}=x\,}$	e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
Dekadische Logarithmen	lg	${\displaystyle 10^{\lg(x)}=x\,}$	10
Binäre Logarithmen	lb, ld	${\displaystyle 2^{\mathrm {lb} (x)}=x\,}$	2

→ Logarithmengesetze für komplexe Zahlen

Definition

Sind ${\displaystyle f,g}$ zwei auf der Grundmenge ${\displaystyle G}$ definierte Funktionen, so nennt man

${\displaystyle f(x)=g(x)}$

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

${\displaystyle L=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}}$

gesucht ist.

Bei ${\displaystyle G}$ kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:

${\displaystyle L=\{(x,y)\in G\mid f(x,y)=g(x,y)\},}$

${\displaystyle L=\{(x,y,z)\in G\mid f(x,y,z)=g(x,y,z)\},}$

usw.

Man schreibt auch ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$ oder ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ usw.

Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.

Seien ${\displaystyle A(x),B(x)}$ zwei Aussageformen.

Seien ${\displaystyle f,g,h}$ Funktionen mit Definitionsbereich ${\displaystyle G}$ und Zielmenge ${\displaystyle Z=\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle Z=\mathbb {C} }$.

Für alle x gilt:

${\displaystyle f(x)=g(x)\iff f(x)+h(x)=g(x)+h(x),}$

${\displaystyle f(x)=g(x)\iff f(x)-h(x)=g(x)-h(x).}$

Besitzt ${\displaystyle h(x)}$ keine Nullstellen, so gilt für alle x:

${\displaystyle f(x)=g(x)\iff f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),}$

${\displaystyle f(x)=g(x)\iff {\frac {f(x)}{h(x)}}={\frac {g(x)}{h(x)}}.}$

Besitzt ${\displaystyle h(x)}$ Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:

${\displaystyle f(x)=g(x)\implies f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x).}$

Ist ${\displaystyle i}$ eine auf dem Definitionsbereich ${\displaystyle f(G)\cup \operatorname {g} (G)}$ injektive Funktion, dann gilt für alle x:

${\displaystyle f(x)=g(x)\iff i(f(x))=i(g(x)).}$

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Arten von Gleichungen

Polynomgleichungen

• Quadratische Gleichungen