7.4 Überlegungen zum chaotischen Verhalten der Folgen

Inhaltsverzeichnis

7.41 Einleitung
7.42 Darstellung für die Ausgangszahl 3 und die Umwandlungsregel 4 (UR4)
7.43 Darstellung für die Ausgangszahl 9
7.44 Darstellung für die Ausgangszahl 27
7.45 Darstellung für die Ausgangszahl 81
7.46 Schlussbemerkung

7.41 Einleitung

Die folgenden Darstellungen möchte ich der Anschaulichkeit halber – wie früher bereits vorbereitet – auf dem Spielfeld erläutern. Wie bereits angedeutet, sind die im Verlauf der Folgen auftauchenden Dreierpotenzen für dieses chaotische Verhalten verantwortlich. Dies soll im Folgenden erläutert werden.

Dazu schauen wir uns zuerst die ersten Dreierpotenzen der Reihe nach an und gehen entsprechend den Umwandlungsregeln vor.

7.42 Darstellung für die Ausgangszahl 3 und die Umwandlungsregel 4 (UR4)

Ausgangssituation

Endsituation nach UR4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

7.43 Darstellung für die Ausgangszahl 9

Ausgangssituation

nach UR4

nach UR4 für 3

nach UR2 und Endsituation

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

7.44 Darstellung für die Ausgangszahl 27

Ausgangssituation

nach UR4

nach UR4 für 9

nach UR2 für 6 u. 18

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

nach UR4 für 3 und Endsituation

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

7.45 Darstellung für die Ausgangszahl 81

Ausgangssituation

nach UR4

nach UR4 für 27

nach UR2 für 18 u. 54

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

nach UR4 für 9

nach UR4 für 3

Endsituation nach UR2 für 2 u. 6

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4

7.46 Schlussbemerkung

Wie man sieht, werden durch die Umwandlungsregeln UR2 und UR4 die Dreierpotenzen umgewandelt in die nächstkleinere echte Januszahl sowie weitere kleinere Summanden. Dabei verkleinert sich die Dreierpotenz um zwei, während sich die Zweierpotenzen um drei vergrößern.

Beispiele:

  ${\begin{aligned}81&=3^{4}=3^{2}\cdot 9=3^{2}\cdot (8+1)=3^{2}\cdot 8+9\\&=3^{2}\cdot 2^{3}+9=3^{2}\cdot 2^{3}+8+1\\&=3^{2}\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{3}+1\end{aligned}}$

  ${\begin{aligned}27=3^{3}&=3\cdot 9=3\cdot (8+1)=3\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{3}\\&=3\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{3}+1\end{aligned}}$

Allgemein:

3^{n}=3^{n-2}\cdot 9=3^{n-2}\cdot (8+1)=3^{n-2}\cdot 2^{3}+3^{n-2}\cdot 2^{0}=3^{n-2}\cdot 2^{3}+3^{n-2}

Hierbei ist der letzte Summand i.d.R. wieder eine reine Dreierpotenz und muss entsprechend weiterverarbeitet werden. Interessant ist noch der Fall, wenn in der Folge Gruppen von Dreier-potenzen auftreten. Dann kann man UR2 direkt auf die Dreierpotenzen anwenden, wodurch sich die obige Aussage etwas verändert.

Beispiel:

108=81+27=3^{4}+3^{3}=3\cdot 3^{3}+3^{3}=3^{3}\cdot (3+1)=3^{3}\cdot 4=3^{3}\cdot 2^{2}

Hier wird die Dreierpotenz nur um eins verkleinert, während die Zweierpotenz um zwei wächst. Eine solche Zweiergruppe von Dreierpotenzen tritt aber nur dann auf, wenn die Umwandlungsregeln vorher nicht konsequent angewandt worden sind.

Daher lässt sich allgemein sagen, dass eine auftauchende Dreierpotenz immer durch die Umwandlungsregeln in eine Summe kleinerer reiner Janus-Zahlen und die 1 zerlegt wird. Damit verschiebt sich dann insgesamt das Geschehen auf dem Spielbrett nach links (und oben) bei einer Vergrößerung der Zahl der Spielsteine (Summanden).

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