Beweisarchiv: Stochastik

Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate

Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace · Approximationssatz von Stone-Weierstrass

Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten

Für das arithmetische Mittel ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ zweier reeller Zahlen ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gilt

${\displaystyle \ m-a=b-m.}$

Beweis

Es gilt nach der Definition des arithmetischen Mittels

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}$

Hier ist ${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }=m,\;n=2,\;x_{1}=a}$ und ${\displaystyle x_{2}=b,\;}$ es gilt also ${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$. Damit ergeben sich die Äquivalenzen

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2m=a+b}$

${\displaystyle \Leftrightarrow m-a=b-m,}$

was die Aussage beweist.

Wikipedia-Verweis

• Arithmetisches Mittel