Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Anfangswertprobleme zu nichtlineare Differentialgleichungen $y'(x)=F(x,y(x))$ für stetiges $F$ müssen nicht immer eindeutig lösbar sein. Unter zusätzlicher Annahme der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von $F$ in der zweiten Variablen kann man jedoch Eindeutigkeit garantieren, und diese Voraussetzung ist in der Praxis meistens gegeben. Dies begründet die Bedeutung des folgenden Eindeutigkeitskriteriums:

Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit

Es sei $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ , $G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}$ , $(a,y_{0})\in G$ und $F=F(x,y):G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem $\ y'=F(x,y),y(a)=y_{0}$ höchstens eine Lösung $y\in C^{1}([a,b);\mathbb {K} ^{n})$ .

Beweis

Es seien $y_{1},y_{2}:[a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ zwei Lösungen des Anfangswertproblems $\ y'=F(x,y),y(a)=y_{0}$ und $\beta \in (a,b)$ beliebig. Da

K:=\{(x,y)\in [a,\beta ]\times \mathbb {K} ^{n}\ |\ x\in [a,\beta ],\ y\in \{y_{1}(x),y_{2}(x)\}\}

kompakt ist, gibt es ein $L\geq 0$ mit

\|F(x,y)-F(x,z)\|\leq L\|y-z\|

für alle $(x,y),(x,z)\in K$ . Für die Differenz $d(x):=\|y_{1}(x)-y_{2}(x)\|$ gilt die Integralungleichung

{\begin{array}{lll}d(x)&=&\|[y_{1}(x)-y_{1}(a)]-[y_{2}(x)-y_{2}(a)]\|=\|\int _{a}^{x}[F(s,y_{1}(s))-F(s,y_{2}(s))]{\rm {d}}s\|\\&\leq &\int _{a}^{x}\|F(s,y_{1}(s))-F(s,y_{2}(s))\|{\rm {d}}s\\&\leq &L\int _{a}^{x}\|y_{1}(s)-y_{2}(s)\|{\rm {d}}s=L\int _{a}^{x}d(s){\rm {d}}s\ .\\\end{array}}

Die Grönwall'sche Ungleichung impliziert $d\leq 0$ .

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Siehe auch

Grönwall'sche Ungleichung

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