Beweisarchiv: Analysis

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Definition

Seien ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ein Intervall und ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist ${\displaystyle f}$ konstant, wenn für alle ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gilt ${\displaystyle f(a)=f(b)}$.

Satz

${\displaystyle f}$ ist genau dann konstant, wenn für die Ableitungsfunktion ${\displaystyle f':I\to \mathbb {R} }$ gilt ${\displaystyle f'=0}$.

Beweis

„${\displaystyle \Rightarrow }$“: Seien ${\displaystyle f}$ konstant und ${\displaystyle x\in I}$. Dann gilt ${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0}$.

„${\displaystyle \Leftarrow }$“: Seien ${\displaystyle f'(x)=0}$ für alle ${\displaystyle x\in I}$ und ${\displaystyle a,b\in I}$ mit ${\displaystyle a\neq b}$, dann können wir durch eventuelles Vertauschen ${\displaystyle a<b}$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ mit ${\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$. Also ist wegen${\displaystyle f'(\xi )=0}$ auch ${\displaystyle f(b)-f(a)=0}$ und damit ${\displaystyle f(a)=f(b)}$.

${\displaystyle \Box }$