Aufgabe 1

Löse die folgende Aufgabe durch Trennung der Variablen:

${\displaystyle y'x=-y}$

Lösung

Wir stellen um:

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}=-{\frac {dx}{x}}}$

Integration und Lösung nach ${\displaystyle y}$: Zunächst wird die Gleichung Integriert:

${\displaystyle \ln(y)=-\ln(x)+\ln(C)}$

Obige Gleichung wird nach ${\displaystyle y}$ aufgelöst. Das Ergebnis lautet ${\displaystyle y={\frac {C}{x}}}$.

Aufgabe 2

Löse die folgende Aufgabe durch Trennung der Variablen:

${\displaystyle r^{2}+r'^{2}=1}$

Lösung

Umstellung der Differentialgleichung:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&r^{2}+r'^{2}&=1\\\Rightarrow \ &\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}&=1-r^{2}\\\Rightarrow \ &{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2}}}}&=d\varphi \end{array}}\end{aligned}}}$

Integration und Lösung von ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&\int {\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2}}}}&=\int d\varphi \\\Rightarrow \ &\arcsin(r)&=\varphi +C\\\Rightarrow \ &r&=\sin(\varphi +C)\end{array}}\end{aligned}}}$

Das Integral kann dabei im Bronstein^[1] nachgeschaut werden.

Referenzen

1. ↑ Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: "Taschenbuch der Mathematik" - 6. vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage, 2005, S. 1063