${\displaystyle {}\varphi \circ \varphi =\operatorname {Id} \,}$

und somit ist die Abbildung bijektiv.

${\displaystyle {}x=a10+b\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b\in \{0,1,\ldots ,9\}}$. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi (x)=b10+a\,.}$

Ohne Einschränkung sei

${\displaystyle {}a\geq b\,,}$

also

${\displaystyle {}x\geq \varphi (x)\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}x-\varphi (x)=a10+b-(b10+a)=(a-b)10+(b-a)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}a=b}$ steht hier ${\displaystyle {}0}$. Bei ${\displaystyle {}a>b}$ steht hinten eine negative Einerziffer, deshalb ist die korrekte Zifferndarstellung aus

${\displaystyle {}(a-b)10+(b-a)=(a-b-1)10+(b-a)+10=(a-b-1)10+10+b-a\,}$

ablesbar. Die Quersumme ist

${\displaystyle {}(a-b-1)+10+b-a=9\,.}$

${\displaystyle {}2021=2\cdot 27+2\cdot 3+1=61\,.}$

Dies wird unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}16}$ abgebildet, und wegen

${\displaystyle {}16=1\cdot 9+2\cdot 3+1\cdot 1\,}$

ist diese Zahl im Dreiersystem gleich ${\displaystyle {}121}$.