Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,}$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe

entspricht. Unter einem Zykel von ${\displaystyle {}f}$ der Länge ${\displaystyle {}n}$ verstehen wir ein ${\displaystyle {}x\in \mathbb {N} }$ derart, dass ${\displaystyle {}f^{n}(x)=x}$ (${\displaystyle {}f^{n}}$ bezeichnet die ${\displaystyle {}n}$-te Hintereinanderschaltung von ${\displaystyle {}f}$ mit sich selbst) und ${\displaystyle {}f^{i}(x)\neq x}$ ist für ${\displaystyle {}i=1,2,\ldots ,n-1}$. Besitzt ${\displaystyle {}f}$ Zykel der Länge ${\displaystyle {}n\geq 2}$?