a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge ${\displaystyle {}A,B,C}$ und Nichtleser) beschreibt, ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}.}$

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ${\displaystyle {}(20000,20000,20000,40000)}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}20000\\20000\\20000\\40000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22000\\20000\\23000\\35000\end{pmatrix}}\,.}$

c) Die Ausgangsverteilung ist ${\displaystyle {}(0,0,0,100000)}$, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich ${\displaystyle {}(10000,10000,10000,70000)}$.

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10000\\10000\\10000\\70000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16000\\15000\\16500\\52500\end{pmatrix}}\,.}$

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16000\\15000\\16500\\52500\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}12800+1500+5250\\1600+9000+1650+5250\\800+3000+11550+5250\\800+1500+3300+36750\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}19550\\17500\\20600\\42350\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$