a) Es ist

${\displaystyle {}y'(t)=h(y(t))\,,}$

da es sich um eine Lösung handelt. Die rechte Seite ist differenzierbar, da ${\displaystyle {}h}$ und ${\displaystyle {}y}$ differenzierbar sind, und nach der Kettenregel ist somit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y^{\prime \prime }(t)&={\left(h(y(t))\right)}'\\&=h'(y(t))y'(t)\\&=h'(y(t))h(y(t))\\&={\left(h'h\right)}(y(t)).\end{aligned}}}$

b) Da ${\displaystyle {}h}$ beliebig oft differenzierbar ist, ist

${\displaystyle {}y^{\prime \prime }={\left(h'h\right)}\circ y\,}$

differenzierbar, und es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y^{\prime \prime \prime }(t)&={\left({\left(h'h\right)}(y(t))\right)}'\\&={\left(h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))\right)}\cdot y'(t)\\&={\left(h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))\right)}\cdot h(y(t))\\&=h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))h(y(t)).\end{aligned}}}$

c) Wir führen Induktion nach ${\displaystyle {}n}$. Die Aussage ist für ${\displaystyle {}n=1,2,3}$ richtig nach Teil a) und b), der Induktionsanfang ist also gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes von ${\displaystyle {}n}$ nach ${\displaystyle {}n+1}$ können wir von einer Darstellung

${\displaystyle {}y^{(n)}={\left(\sum _{\nu }a_{\nu }{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\right)}\circ y\,}$

ausgehen. Dies zeigt zunächst, dass ${\displaystyle {}y}$ auch ${\displaystyle {}(n+1)}$-mal ableitbar ist. Zur Berechnung der Form der Ableitung genügt es, einen Summanden der Form

${\displaystyle {\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\circ y}$

zu betrachten. Die Ableitung davon ist nach der Ketten- und der Produktregel gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}'\circ y\right)}\cdot y'&={\left({\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}\right)}\right)}\circ y\right)}\cdot y'\\&={\left({\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}\right)}\right)}\circ y\right)}\cdot {\left(h\circ y\right)}\\&={\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}h\right)}\right)}\circ y.\end{aligned}}}$

Dabei erhöht sich die höchste Ableitungs von ${\displaystyle {}h}$, die vorkommt, auf ${\displaystyle {}n}$, die Potenzen von ${\displaystyle {}h^{(j)}}$ erhöhen sich maximal um ${\displaystyle {}1}$ und die Koeffizienten sind nach wie vor aus ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$. Daher liegt insgesamt wieder eine Form wie beschrieben vor.