Sei ${\displaystyle {}p}$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl ${\displaystyle {}n\neq 0}$ bezeichne ${\displaystyle {}\nu _{p}(n)}$ den Exponenten, mit dem die Primzahl ${\displaystyle {}p}$ in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${\displaystyle {}\nu _{p}:\mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N} }$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt ${\displaystyle {}\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)}$.

c) Finde eine Fortsetzung ${\displaystyle {}\nu _{p}:\mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z} }$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${\displaystyle {}{\mathbb {Q} }^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}}$ mit der Multiplikation und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit der Addition versehen ist).