Zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ bezeiche ${\displaystyle {}T(n)}$ die Anzahl der positiven Teiler von ${\displaystyle {}n}$. Zeige die folgenden Aussagen über ${\displaystyle {}T(n)}$.

a) Sei ${\displaystyle {}n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}$ die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$. Dann ist

${\displaystyle {}T(n)=(r_{1}+1)(r_{2}+1)\cdots (r_{k}+1)\,.}$

b) Für teilerfremde Zahlen ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}m}$ gilt ${\displaystyle {}T(nm)=T(n)T(m)}$.

${\displaystyle {}20!}$