Die Peano-Axiome für Addition und Multiplikation in der ersten Stufe werden (in der Sprache ${\displaystyle {}L^{\rm {Ar}}}$ zur Symbolmenge mit den beiden Konstanten ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen ${\displaystyle {}+}$ und ${\displaystyle {}\cdot }$) folgendermaßen definiert.

1. ${\displaystyle {}\forall x(\neg (x+1=0))}$.
2. ${\displaystyle {}\forall x\forall y((x+1=y+1)\rightarrow (x=y))}$.
3. ${\displaystyle {}\forall x(x+0=x)}$.
4. ${\displaystyle {}\forall x\forall y(x+(y+1)=(x+y)+1))}$.
5. ${\displaystyle {}\forall x(x\cdot 0=0)}$.
6. ${\displaystyle {}\forall x\forall y(x\cdot (y+1)=(x\cdot y)+x)}$.
7. Für jeden Ausdruck ${\displaystyle {}\alpha }$ von ${\displaystyle {}L^{Ar}}$ mit einer freien Variablen ${\displaystyle {}x}$ gilt

   ${\displaystyle \alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .}$