Es seien ${\displaystyle {}f,g}$ multiplikativ und es seien ${\displaystyle {}m,n}$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung

${\displaystyle {}de=mn\,}$

gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung ${\displaystyle {}d=ru}$ und ${\displaystyle {}e=sv}$ mit ${\displaystyle {}r,u}$ und ${\displaystyle {}s,v}$ teilerfremd und mit ${\displaystyle {}rs=m}$ und ${\displaystyle {}uv=n}$. Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(f*g)(m\cdot n)&=\sum _{d\cdot e=m\cdot n}f(d)g(e)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(ru)g(sv)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(r)f(u)g(s)g(v)\\&={\left(\sum _{r\cdot s=m}f(r)g(s)\right)}\cdot {\left(\sum _{u\cdot v=n}f(u)g(v)\right)}\\&=(f*g)(m)\cdot (f*g)(n),\end{aligned}}}$

also ist auch ${\displaystyle {}f*g}$ multiplikativ.