Nach Fakt ist

${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/F'dX\cong R/(F')=R/(3X^{2}-3)=R/(3(X-1)(X+1))\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}X^{3}-3X+1=(X-1)(X^{2}+X-2)-1\,}$

und daher ist ${\displaystyle {}X-1}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}R}$ und der Kählermodul ist isomorph zu ${\displaystyle {}R/(3(X+1))}$. Wegen

${\displaystyle {}R/(X+1)=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-3X+1,X+1)=\mathbb {Z} /(3)\,}$

ist die Norm von ${\displaystyle {}X+1}$ gleich ${\displaystyle {}3}$ und somit ist die Norm von ${\displaystyle {}3(X+1)}$ gleich ${\displaystyle {}81}$.

Ferner ist

${\displaystyle {}X^{3}-3X+1=(X+1)(X^{2}-X-2)+3=(X+1)(X+1)(X-2)+3\,.}$

Es gilt die Idealgleichheit ${\displaystyle {}(X+1)=(X-2)}$, da beide Seiten die ${\displaystyle {}3}$ enthalten. Somit ist ${\displaystyle {}(3)=(X+1)^{3}}$

und daher ist der Modul der Kähler-Differentiale auch gleich ${\displaystyle {}R/(X+1)^{4}}$. Die einzige verzweigende Primzahl ist daher die ${\displaystyle {}(3)}$ und darüber liegt allein das Primideal ${\displaystyle {}(X+1)}$.