Die Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-3X+1)=K}$ ist eine Galoiserweiterung, wenn ${\displaystyle {}\alpha \in \mathbb {R} }$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}X^{3}-3X+1}$, so sind auch ${\displaystyle {}\beta =\alpha ^{2}-2}$ und ${\displaystyle {}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2}$ Nullstellen, siehe Aufgabe. Die Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Der Automorphismus, der ${\displaystyle {}\alpha }$ auf ${\displaystyle {}\alpha ^{2}-2}$ abbildet, schickt ${\displaystyle {}\alpha ^{2}}$ auf

${\displaystyle {}{\left(\alpha ^{2}-2\right)}^{2}=\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+4=3\alpha ^{2}-\alpha -4\alpha ^{2}+4=-\alpha ^{2}-\alpha +4\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \alpha +\mathbb {Z} \alpha ^{2}\,}$

wird die gesamte Gitterabbildung durch

${\displaystyle R\cong \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,a+b\alpha +c\alpha ^{2}\longmapsto {\begin{pmatrix}a+b\alpha +c\alpha ^{2}\\a+b(\alpha ^{2}-2)+c(-\alpha ^{2}-\alpha +4)\\a+b(-\alpha ^{2}-\alpha +2)+c(\alpha +2)\end{pmatrix}},}$

gegeben. Die Basis ${\displaystyle {}1,\alpha ,\alpha ^{2}}$ wird auf die Gitterbasis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha \\\alpha ^{2}-2\\-\alpha ^{2}-\alpha +4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}\\-\alpha ^{2}-\alpha +4\\\alpha +2\end{pmatrix}}}$

abgebildet.

Wenn man ${\displaystyle {}1,\alpha ,\beta }$ als Ganzheitsbasis nimmt, so wird die Abbildung durch

${\displaystyle R\cong \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,a+b\alpha +d\beta \longmapsto {\begin{pmatrix}a+b\alpha +d\beta \\a+b\beta +d(-\alpha -\beta )\\a+b(-\alpha -\beta )+d\alpha \end{pmatrix}},}$

beschrieben. Diese Basis wird dann auf die Gitterbasis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\-\alpha -\beta \end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\beta \\-\alpha -\beta \\\alpha \end{pmatrix}}}$

abgebildet.