Sei

${\displaystyle q\in R_{g}\cap R_{f}.}$

Das bedeutet, dass es Zähler ${\displaystyle {}a,b\in R}$ und Exponenten ${\displaystyle {}r,s\in \mathbb {N} }$ gibt, dass

${\displaystyle {}q={\frac {a}{g^{r}}}={\frac {b}{f^{s}}}\,}$

gilt. Da ${\displaystyle {}g}$ und ${\displaystyle {}f}$ teilerfremd sind, sind auch ${\displaystyle {}g^{r}}$ und ${\displaystyle {}f^{s}}$ teilerfremd und somit gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen ${\displaystyle {}u,v\in \mathbb {Z} }$ mit

${\displaystyle {}ug^{r}+vf^{s}=1\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}q&=q\cdot 1\\&=q\cdot {\left(ug^{r}+vf^{s}\right)}\\&={\frac {a}{g^{r}}}ug^{r}+{\frac {b}{f^{s}}}vf^{s}\\&=au+bv,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}R}$