Nach Fakt gibt es ein ${\displaystyle {}m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}}$, ${\displaystyle {}m\neq 0}$. Damit ist ${\displaystyle {}mR\subseteq {\mathfrak {a}}}$ und damit hat man eine surjektive Abbildung

${\displaystyle R/(m)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.}$

Der Ring links ist nach Fakt endlich (mit ${\displaystyle {}m^{n}}$ Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.