Nach Aufgabe ist der Durchschnitt der Untergruppen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} a_{i}}$ wieder eine Untergruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$. Nach Fakt gibt es ein eindeutig bestimmtes ${\displaystyle {}c\geq 0}$ mit

${\displaystyle {}\mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} c\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} c\subseteq \mathbb {Z} a_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ ist ${\displaystyle {}c}$ ein Vielfaches von jedem ${\displaystyle {}a_{i}}$, also ein gemeinsames Vielfaches der ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{k}}$. Für jedes gemeinsame Vielfache ${\displaystyle {}v}$ dieser Elemente gilt

${\displaystyle {}\mathbb {Z} v\subseteq \mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}\,.}$

Die Zahl ${\displaystyle {}c}$ besitzt also die Eigenschaft, dass jedes gemeinsame Vielfache der Elemente ein Vielfaches von ${\displaystyle {}c}$ ist. Daher ist ${\displaystyle {}c}$ das kleinste gemeinsame Vielfache.