Jeder Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ist von der Form

${\displaystyle \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto dx,}$

mit einer festen Zahl ${\displaystyle {}d\in \mathbb {Z} }$. Bei ${\displaystyle {}d=0}$ ist dies die Nullabbildung, bei ${\displaystyle {}d\geq 2}$ und ${\displaystyle {}d\leq -2}$ ist diese Abbildung nicht surjektiv, da ${\displaystyle {}1}$ nicht im Bild liegt. Dagegen ist bei

${\displaystyle {}d=1,-1\,}$

die Abbildung bijektiv, also ein Automorphismus. Somit ist

${\displaystyle {}\operatorname {Aut} \,\mathbb {Z} =\{\operatorname {Id} _{\mathbb {Z} },-\operatorname {Id} _{\mathbb {Z} }\}\,.}$