Sei

${\displaystyle {}b\geq 1\geq a>0\,}$

fixiert und sei

${\displaystyle {}M={\left\{f:[a,b]\rightarrow [a,b]\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.}$

a) Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle H\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto H(f)={\sqrt {f}},}$

wohldefiniert ist.

b) Sei nun zusätzlich ${\displaystyle {}a>{\frac {1}{4}}}$. Zeige, dass die Abbildung ${\displaystyle {}H}$ aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei ${\displaystyle {}M}$ mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

${\displaystyle {}H}$