Eine ungerade natürliche Zahl besitzt die Form ${\displaystyle {}2n+1}$ mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Vier aufeinanderfolgende Zahlen sind damit ${\displaystyle {}2n+1,2n+3,2n+5,2n+7}$.

1. Induktionsbeweis: Für ${\displaystyle {}n=0}$ geht es um

   ${\displaystyle {}1+3+5+7=16=2\cdot 8\,,}$

   was durch ${\displaystyle {}8}$ teilbar ist. Sei nun die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ${\displaystyle {}2n+1}$ ein Vielfaches der ${\displaystyle {}8}$. Es ist zu zeigen, dass dies auch für die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ${\displaystyle {}2(n+1)+1=2n+3}$ gilt. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+(2n+9)&=(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+(2n+1)+8\\&=(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+8\\&=8k+8\\&=8(k+1),\end{aligned}}}$

   so dass diese Zahl wieder ein Vielfaches der ${\displaystyle {}8}$ ist.

2. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)&=2n+2n+2n+2n+1+3+5+7\\&=8n+16\\&=8(n+2),\end{aligned}}}$

   so dass ein Vielfaches der ${\displaystyle {}8}$ vorliegt.